1 Arguedas Propositions "parameterized"

Proposition 1 : (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) induces compliance if:

μ\frac{f′′(0)}{f′(0)} ≤ β.f´ (0)

f′(0) = ϕ f′′(0) = γ

μ\frac{γ}{ϕ} ≤ βϕ

μγ ≤ βϕ^{2}

donde μ : costo monitoreo γ : valor componente "gravedad" (f′′(0)) de la multa β : costo multa por peso recaudado ϕ^{2} : componente lineal (f′(0)) de la multa, al cuadrado Esta condición es igual a la de John.

Proposition 2 : if the optimal policy induces compliance it is characterized by:

c′_{i}(s_{i}^{∗}) − λ_{4} + μ\frac{dπ_{i}^{∗}(s_{i}^{∗})}{ds_{i}^{∗}} = 0

π_{i}^{∗}(s_{i}^{∗}) = −\frac{c′_{i}(s_{i}^{∗})}{f′(0)}

c′_{i}(s_{i}^{∗}) = −θ_{i} + δ_{i}s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}(s_{i}^{∗}) = \frac{θ_{i} − δ_{i}s_{i}^{∗}}{ϕ} , \frac{dπ_{i}^{∗}(s_{i}^{∗})}{ds_{i}^{∗}} = − \frac{δ_{i}}{ϕ}

−θ_{i} + δ_{i}s_{i}^{∗} − λ_{4} − μ\frac{δ_{i}}{ϕ} = 0

we must find λ_{4}

δ_{i}s_{i}^{∗} = θ_{i} + λ_{4} + μ\frac{δ_{i}}{ϕ}

or

s_{i}^{∗} = \frac{θ_{i} + λ_{4}}{δ_{i}} + \frac{μ}{ϕ}

Proposition 3 : if the optimal policy (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) induces non compliance, it is given by:

(−θ_{i}+δ_{i}e_{i}^{∗})+β×π_{i}^{∗}×[ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})]+\frac{μ + β × (ϕ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗}) + \frac{γ(e_{i}^{∗}−s_{i}^{∗})^{2}}{2} )}{\frac{ϕ+γ(e_{i}^{∗}−s_{i}^{∗})}{δ_{i}+π_{i}^{∗}γ}} −λ_{4} = 0

(−θ_{i} + δ_{i}e_{i}^{∗}) + π_{i}^{∗} × [ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})] = 0

[μ + β [ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})]] \frac{γ}{ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})} − β [ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})] ≥ 0

[[μ + β [ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})]] \frac{γ}{ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})} − β [ϕ + γ(e_{i}^{∗} − s_{i}^{∗})]] × s_{i}^{∗} = 0

Proposition 4 : if the optimal policy (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) induces compliance ϕ must be set as high as possible and γ is irrelevant. If (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) induces non compliance the best shape of the penalty function depends on a condition.

Proposition 5 : the optimal policy induces compliance and it is characterized by:

(−θ_{i} + δ_{i}s_{i}^{∗}) − λ_{4} − μ\frac{δ_{i}}{ϕ} = 0

or

s_{i}^{∗} = \frac{θ_{i} + λ_{4}}{δ_{i}} + \frac{μ}{ϕ}

and

π_{i}^{∗}=\frac{θ_{i} − δ_{i}s_{i}^{∗}}{ϕ}

and

f(e_{i} − s_{i}) = ϕ(e_{i} − s_{i}) + \frac{γ(e_{i} − s_{i}) ^{2}}{2}

or

f(e_{i} − s_{i}) = ϕ(e_{i} − s_{i})

if ϕ = f´ (0) is set as high as possible according to legislation.

The regulator sets ϕ as high as possible according to the legislation to set π as low as possible according to π = −c′/f′(0)

Deberes : (tareas)

1. Escribir nuestra Prop. 5 (sin mencionar a Arguedas)

2. Parametrizar el caso óptimo con información completa y llegar a una condición que defina en función de parámetros lo que dice Malik (1992), CA de permisos siempre menores, CM de permisos ⪋ CM estándares

3. Suponer / modelar la incompletitud de información del regulador de alguna forma y ver si todavía es cierto que es costo efectivo inducir cumplimiento.

Cumplimiento = π̃_{i}ϕ ⩾ E [−c′_{i}(s_{i})] Si −c′_{i} es la más alta: la firma viola, emite alto y viola. Si −c′_{i} es baja: la firma està cumpliendo pero se està siendo monitoreada

con una probabilidad muy alta, π̃_{i}.ϕ ⩾ −ci^{′} _{baja}(s_{i}), y puede bajar π. Tenemos cuatro alternativas de diseño de polìtica: 1.- Asegurarse perfecto cumplimiento con certeza (monitorear con prob-

abilidad π_{i}^{A}).

2.- Violaciones esperadas cero, perfecto cumplimiento en términos esperados (monitorear con probabilidad π̃_{i})

3.- Violaciones esperadas positivas: monitorear con probabilidad π_{i} ϵ (π_{i}^{B}, π̃_{i})

4.- Violaciones positivas seguras: monitorear con probabilidad π_{i}^{B} Intuición: en un contexto de incertidumbre ahorrar costos de sanción

con certeza implica fijar π_{i}^{A} y posiblemente estar monitoreando más de lo necesario.

2 Concepción 31/3/09

2.1 Una firma, información incompleta, multas dadas

FOC Chávez:

1) s : E \{c′(.)\frac{∂ē}{∂s} + πβf′(.) [\frac{∂ē}{∂s} − 1]\} + λ(1 − \frac{∂ē}{∂s}) = 0

2) π : E \{c′(.)\frac{∂ē}{∂π} + μ + βf [ē(.) − s] + πβf′(.)\frac{∂ē}{∂π}\} − λ\frac{∂ē}{∂π} = 0

3) λ : −ē + s ≤ 0; λ ≥ 0; (s − ē)λ = 0

The optimal policy (under given penalties) induces expected compliance, ē = s ⟹ λ ≥ 0^{1}

1’) E [c′(.)] E [\frac{∂ē}{∂s}] + Cov (c′(.)\frac{∂ē}{∂s}) + πβf´ (0) [\frac{∂ē}{∂s} − 1] + λ(1 − \frac{∂ē}{∂s}) = 0 2’) E [c′(.)] E [\frac{∂ē}{∂π}] + Cov (c′(.)\frac{∂ē}{∂π}) + πβf′(0)\frac{∂ē}{∂π} − λ\frac{∂ē}{∂π} = 0

Setting Cov (c′(.)\frac{∂ē}{∂s}) = Cov (c′(.)\frac{∂ē}{∂π}) = 0, 1”) E [c′(.)\frac{∂ē}{∂s}] + [πβf′(0) − λ] (\frac{∂ē}{∂s} − 1) = 0 2”) E [c′(.)\frac{∂ē}{∂π}] + [πβf′(0) − λ] \frac{∂ē}{∂π} + μ = 0

\frac{E [c′(.)\frac{∂ē}{∂s}]}{E [c′(.)\frac{∂ē}{∂π}] + μ} = \frac{[\frac{∂ē}{∂s} − 1]}{\frac{∂ē}{∂π}}

o si sacamos factor común:

1’) [E [c′(.)] + πβf´ (0) − λ] \frac{∂ē}{∂s} − (πβf′(0) − λ) = 0 2’) [E [c′(.)] + πβf´ (0) − λ] \frac{∂ē}{∂π} + μ = 0

\frac{\frac{∂ē}{∂s}}{\frac{∂ē}{∂π}} = \frac{−πβf′(0) + λ}{μ}

\frac{∂ē}{∂s} = \frac{πf′′ (ē − s)}{c′′ \binom{}{ē} + πf′′ (ē − s)}

\frac{∂ē}{∂π} = \frac{−f′ (ē − s)}{c′′(ē) + πf′′ (ē − s)}

\frac{πf′′(0)}{f′(0)} = \frac{πβf′(0) − λ}{μ}

μπ \frac{f′′(0)}{f′(0)} = πβf′(0) − λ

E(x)E(y) = E(xy) = E(x)E(y) + Cov(x, y)

1Cov(x, y) = E [(x − μ_{x})(y − μ_{y})] = E [xy − μ_{x}y − xμ_{y} + μ_{x}μ_{y}] = E(xy) − E(x)μ_{y} − E(y)μ_{x} − μ_{x}μ_{y} = E(xy) − μ_{y} [E(x) − μ_{x}] − E(y)μ_{x} = E(xy) −

λ ≥ 0 ⟹

μπ \frac{f′′(0)}{f′(0)} ≤ πβf′(0)

Cuando se puede manipular la multa, nunca te conviene inducir nocumplimiento (Prop. 5). Cuando las multas están dadas, esto depende de si

μ\frac{f′′(0)}{f′(0)} ≤ βf′(0)

2.2 Múltiples firmas, información incompleta, multas dadas.

El problema del regulador es:

min E [c(.)]\begin{matrix}(s_{1},s_{2},..,s_{n}) \\ (π_{1},π_{2},..,π_{n}) \end{matrix} = E [∑_{i=1}^{n} c_{i}(e_{i}, θ_{i}) + μ ∑_{i=1}^{n} π_{i} + β ∑_{i=1}^{n} π_{i}f(e_{i} − s_{i})]

s.a 1) e_{i} = ē(s_{i}, π_{i}, θ_{i})

2) ∑_{i=1}^{n} ē(s_{i}, π_{i}, θ_{i}) ≤ E

3) s_{i} ≤ ē ∀i = 1, ...n

L = E [∑_{i=1}^{n} c_{i}(ē, θ_{i}) + μ ∑_{i=1}^{n} π_{i} + β ∑_{i=1}^{n} π_{i}f(ē − s_{i})]+λ_{1} [∑_{i=1}^{n} ē − E]+∑_{i=1}^{n} λ_{2}^{i}(s_{i}−

e_{i})

Las n × 2 CPO respecto a las variables de elección son:

\frac{∂L}{∂s_{i}} = E \{c′_{i}(.)\frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} + βπ_{i}f′(.)(\frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} − 1)\}+λ_{1} \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} +λ_{2}^{i}(1− \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}}) = 0, i = 1, ..., n

\frac{∂L}{∂π_{i}} = E \{c′_{i}(.)\frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} + μ + β [f(ē − s_{i}) + π_{i}f′(ē − s_{i})\frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} ]\}+λ_{1} \frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} −λ_{2}^{i} \frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} = 0, i = 1, ..., n

2.2.1 ¿Bajo qué condiciones es costo-efectivo inducir un nivel esperado de incumplimiento = 0 (v_{i} = 0) ∀i = 1, ...n?

Si ē_{i} = s_{i} ⟹ λ_{2}^{i} ≥ 0, λ_{1} ≥ 0.

We re-write the FOC:

\frac{∂L}{∂s_{i}} = E \{c′_{i}(.)\frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} + βπ_{i}f′(.)(\frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} − 1)\} + \underbrace{λ_{1} \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} + λ_{2}^{i}(1 − \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}})} = 0

(λ_{1} − λ_{2}^{i}) \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} + λ_{2}^{i}

= \{E [c′_{i} (s_{i})] + βπ_{i}f′(0) + (λ_{1} − λ_{2}^{i})\} \frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}} − βπ_{i}f′(0) + λ_{2}^{i} = 0

\frac{∂L}{∂π_{i}} = E [c′_{i} (s_{i})] \frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} + μ + β × f(0) + βπ_{i}f′(0)\frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} + (λ_{1} − λ_{2}^{i}) \frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} = 0

= \{E [c′_{i} (s_{i})] + βπ_{i}f′(0) + (λ_{1} − λ_{2}^{i})\} \frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}} + μ = 0

Dividiendo:

\frac{\frac{∂ē_{i}}{∂s_{i}}}{\frac{∂ē_{i}}{∂π_{i}}} = \frac{βπ_{i}f′(0) − λ_{2}^{i}}{−μ}

μ\frac{π_{i}f′′(0)}{f′(0)} = π_{i}βf′(0) − λ_{2}^{i}

Si λ_{2}^{i} ≥ 0,

μ\frac{π_{i}f′′(0)}{f′(0)} ≤ π_{i}βf′(0)

μ\frac{f′′(0)}{f′(0)} ≤ βf′(0)

idem

Si μ y β no difieren entre firmas, si se da esta condición, la política costo-efectiva induce cumplimiento esperado ∀i. Si no se da esta condición, la politica costo efectiva induce violaciones esperadas positivas, v̄_{i} > 0 ∀i. Sólo si se diera que μ = μ_{i} y β = β_{i} que difieren entre firmas, el regulador podría inducir violaciones para algunas y no violaciones para otras. μ_{i} puede diferir porque algunas firmas tienen varios puntos de desagüe y otras no, o algunas firmas están más lejos. β_{i} puede diferir si algunas firmas litigan más las multas en relación a otras firmas.

2.2.2 1/4/09

Gráfica = estudiar deseabilidad de perfecto cumplimientos con certeza en términos de σ_{θ}^{2}.

Sección 1 (Prop. 5): información completa, n firmas, multas endógenas Hoja de ruta del paper: Empezamos con Arguedas + info incompleta + n firmas. 1- Given penalties:

- Prop. 1 de Arguedas es robusto a n firmas (atarlo a John, donde no hay problemas de información).

- Si los costos de monitoreo y sanción difieren entre firmas, puede convenir que algunas violen y otras no.

Chávez opina que todo lo que es una firma lo hagamos para ganar intuición, pero no lo pongamos en el paper.

Para la tarde:

1.- Caracterizar la política óptima cuando ésta induce cumplimiento esperado (prop. 2 Arguedas con E(−c′))

2.- Notar que esto no es lo mismo que inducir perfecto cumplimiento con certeza y que esto requerirá hacer

π_{i}f′(0) = − c′_{i}(θ_{L})

para todo i. ≠ a JAE (2007), podemos decir que esa política no va a ser costo-efectiva.

π_{j}f′(0) = −c′_{j}(θ_{L}^{i}) π_{i}f′(0) = −c′_{i}(θ_{L}^{i})
⟹ π_{j} = \frac{−c′_{j}(θ_{L}^{i})}{f′(0)} ⟹ π_{i} = \frac{−c′_{i}(θ_{L}^{i})}{f′(0)}

2.3 Arguedas + info incompleta + n firmas

Proposition 6 (2) : if the optimal policy (π_{1}^{∗}, π_{2}^{∗}, ...π_{n}^{∗}, s_{1}^{∗}, s_{2}^{∗}, ...s_{n}^{∗}) induces expected compliance, it is characterized by

E [c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ)] + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} + λ_{1} = 0

π_{i}^{∗} = \frac{E [−c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ)]}{f′(0)}

Proof. When ē_{i} = s_{i}, expected violations are zero and therefore there are only two types of costs; monitoring and abatement

ē_{i} = s_{i} implies: E [−c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ)] ≤ π_{i}^{∗}f′(0)

π_{i}^{∗} ≥ \frac{E [−c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ)]}{f′(0)}

But if the regulator can induce v̄_{i} = 0 with π_{i}^{∗} = \frac{E[−c′_{i}(s_{i}^{∗},θ)]}{f′(0)} it would not

be cost-effective to select π_{i}^{∗} ≥ \frac{E[−c′_{i}(s_{i}^{∗},θ)]}{f′(0)}.This would increase monitoring

costs and it would not decrease abatement costs. Therefore, π_{i}^{∗} = \frac{E[−c′_{i}(s_{i}^{∗},θ)]}{f′(0)}.

Para hallar s_{i}^{∗} we begin by re-writing the Lagrangean of the problem when

ē_{i} = s_{i} y y π_{i}^{∗} = \frac{E[−c′_{i}(s_{i}^{∗},θ)]}{f′(0)}.

L = E {∑_{ι=1}^{n} c_{i}(s_{i}, θ_{i}) + μ ∑_{ι=1}^{n} π_{i}^{∗}} + λ_{1} [∑_{ι=1}^{n} s_{i} − E]

and

\frac{dL}{ds_{i}} = E [c′_{i}(s_{i}, θ_{i})] + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}^{∗}} + λ_{1} = 0 i = 1, 2, ...n

with

\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} = \frac{E [c′′_{i}(s_{i}^{∗}, θ_{i})]}{f′(0)}

IOW: E \{c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ_{i})\} + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} + λ_{1} = 0 idem Arguedas prop. 2

Note that:

E \{c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ_{i})\} + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} = E \{c′_{j}(s_{j}^{∗}, θ_{j})\} + μ\frac{dπ_{j}^{∗}}{ds_{j}}

Relacionar con Malik (1992) y Chavez et al (1992). Malik no la explicita (con info incompleta y objetivo exógeno de perfecto cumplimiento).

The regulator sets s_{i}, s_{j} such that the sum of marginal expected abatement costs and marginal monitoring costs are equal between firms.

Note also that this does not imply perfect compliance with certainty. This would require:

π_{i}^{∗} = \frac{−c′_{i}(s_{i}^{∗},θ_{L}^{i})}{f′(0)} and c′_{i}(s_{i}^{∗}, θ_{L}^{i}) + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}}

π_{i}^{∗} compliance with certainty ≠ π_{i}^{∗} expected compliance

Vamos a comparar los costos esperados del programa de inducir perfecto cumplimiento esperado con los costos esperados del programa de inducir perfecto cumplimiento con certeza.

Proposition 7 Inducir perfecto cumplimiento con certeza no minimiza los costos esperados del programa.

Proof. π_{i}^{∗} compliance with certainty > π_{i}^{∗} expected compliance because of > costos de monitoreo. => nunca te conviene inducir perfect compliance with certainty a menos que introduzcas aversidad al riesgo.

A su vez los costos esperados de abatimiento aumentan, E {c_{i} [ē_{i}(s_{i}^{ec}, π_{i}^{ec}, θ), θ]} < E {c_{i} [ē_{i}(s_{i}^{cc}, π_{i}^{cc}, θ), θ]} ∀i = 1, ...n (¿son esperados los costos de cc o son en θ_{L}?)

Para mañana: 1.- Caracterizar (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) cuando es óptimo inducir expected violations. 2.- 4 políticas:

i) inducir cumplimiento esperado con multas lineales. ii) inducir cumplimiento esperado con multas convexas. iii) inducir no-cumplimiento esperado con multas lineales. iv) inducir no-cumplimiento esperado con multas convexas.

¿Cuál es la menos costosa?

2.4 Caracterización de (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) cuando es óptimo inducir expected violations and penalties are given.

2.4.1 Intuition: one firm.

(s^{ec}, π^{ec}) : política óptima cuando es óptimo inducir expected perfect compliance.

Dado que el objetivo del regulador es e = ē^{ec}, la única que queda if the optimal policy induces non compliance is to reduce s^{ec} to s^{en}. But if the regulator does not change π the firm responds with ē^{en}(π^{ec}) < ē^{ec} = s^{ec} = objetivo del regulador.

Therefore the regulator must decrease π to π^{en} (according to \frac{dē/ds}{dē/dπ}) to maintain ē = ē^{ec} = s^{ec}

Therefore:

π^{ec} = \frac{E [−c′(s^{ec})]}{f′(0)} > π^{en} = \frac{E [−c′(s^{ec})]}{f′(s^{ec} − s^{en})}

2.4.2 n firms:

from the FOC of the regulator’s problem, if expected violations > 0, λ_{2}^{i} = 0 ∀i = 1, ...n, λ_{1} ≥ 0

When ē_{i} > s_{i} and π_{i}^{∗} = \frac{E[−c′_{i}(ē_{i},θ)]}{f′(ē_{i}−s_{i})}

L = E [∑_{i=1}^{n} c_{i}(ē_{i}, θ_{i}) + μ ∑_{i=1}^{n}π_{i}^{∗} + β ∑_{i=1}^{n} π_{i}^{∗}f(ē_{i} − s_{i})]+λ_{1} [∑_{i=1}^{n} ē_{i} − E]+∑_{i=1}^{n} λ_{2}^{i}(ē_{i}−

s_{i}) = 0

\frac{∂L}{∂s_{i}} = E [c′_{i}(.)] \frac{dē_{i}}{ds_{i}} + μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} + β [\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} f(ē_{i} − s_{i}) + π_{i}^{∗}f′(ē_{i} − s_{i})(\frac{dē_{i}}{ds_{i}} − 1)] + λ_{1} \frac{dē_{i}}{ds_{i}} + λ_{2}^{i}(\frac{dē_{i}}{ds_{i}} − 1) = 0

\frac{∂L}{∂s_{i}} = [E [c′_{i}(.)] + βπ_{i}^{∗}f′(ē_{i} − s_{i}) + λ_{1} + λ_{2}^{i}] \frac{dē_{i}}{ds_{i}} +μ\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} +β [\frac{dπ_{i}^{∗}}{ds_{i}} f(ē_{i} − s_{i}) − π_{i}^{∗}f′(ē_{i} − s_{i})]− λ_{2}^{i} = 0

De aquí tenemos que caracterizar (s_{i}^{∗}, π_{i}^{∗}) cuando es óptimo inducir violaciones esperadas.