UNIVERSIDAD DE MONTEVIDEO ECONOMÍA MATEMÁTICA I Examen 3 de febrero de 2005

TEORICO (30 puntos) Sea el problema

(P) min {f (x) : x ∈ F }
F = {x ∈ R^{n} : h_{j} (x) ≤ 0, 1 ≤ j ≤ l}

y su dual

(D) max {g (λ) : λ ≥ 0}

a) Plantee las condiciones de KT correspondientes a (P) .

b) Suponga que el par (\overline{x}, \overline{λ}) satisface las condiciones de KT y que el problema (P) es convexo.Muestre entonces que el punto \overline{x} satisface la desigualdad L (\overline{x}, \overline{λ}) ≤ L (x, \overline{λ}) para cada punto x ∈ F.

c) Muestre que g (\overline{λ}) = f (\overline{x}) . Determine si \overline{x} y \overline{λ} son óptimos, y si se cumple la propiedad de dualidad fuerte.

PRACTICO

1. (50 puntos) El departamento de producción de una empresa debe producir al menos 3 unidades por día de un único producto. Con este fin utiliza dos insumos en cantidades no negativas x_{1} y x_{2}. Los precios de los insumos son w_{1} = 2 y w_{2} = 1. La función de producción es

g : R_{+}^{2} → R dada por g (x_{1}, x_{2}) = x_{1}x_{2} + 2x_{1} + x_{2} + 2

Hoy en día se utilizan x_{1} = 0.2 unidades del primer insumo y x_{2} = 0.55 unidades del segundo.

a) Verificar que la combinación actual es factible y calcular su costo. Plantear el problema de mínimo costo correspondiente.

b) Demostrar que, en el óptimo, la producción no puede ser superior a 3 unidades. Teniendo en cuenta lo anterior, deducir que en el óptimo x_{1} > 0 y x_{2} > 0.

c) Plantear un problema con restricciones de igualdad que sea equivalente al inicial, y resolverlo.

2. (40 puntos) Un individuo consume tres bienes en cantidades no negativas x_{1}, x_{2} y x_{3}, y tiene una función de utilidad

u : R_{+}^{3} → R dada por u (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ln (x_{1} + e^{−100})+ln (x_{2} + e^{−100})+ln (x_{3} + e^{−100})

Dichos bienes tienen precios (p_{1}, p_{2}, p_{3}) = (1, 2, 3) y el ingreso del individuo es de I = 12. a) Plantee el correspondiente problema (P) de maximización de la utilidad, y demuestre que (P) es convexo.

b) Sea A = R_{++}^{3}∩\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R_{+}^{3} : x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} < 10\} y \overline{x} = (\overline{x}_{1}, \overline{x}_{2}, \overline{x}_{3}) = (1, 1, 1). Muestre que A es un conjunto abierto, incluido en el conjunto factible de (P) , y que \overline{x} ∈ A. Verifique la condición de Slater.

c) Muestre que cualquier punto factible (x_{1}, x_{2}, x_{3}) debe cumplir: x_{1} ≤ 12, x_{2} ≤ 6, x_{3} ≤ 4. Muestre que si (x_{1}, x_{2}, 0) es factible, entonces u (x_{1}, x_{2}, 0) < 0. Teniendo en cuenta que u (1, 1, 1) > 0, demuestre que x_{3} debe ser estrictamente positivo en cualquier punto óptimo.

d) Resuelva el problema (P) . (se acepta una aproximación con dos cifras decimales).