Control de Emisiones Minimizando los Costos de Abatimiento

Marcelo Caffera^{1}

Universidad de Montevideo

Curso Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Mayo 2007

1Por el momento la presente sección es poco más que una traducción de Stranlund (1999)

1 La Función de Costos de Abatimiento de Empresas en Mercados Competitivos

El costo total de alcanzar e < e^{u} para una firma competitiva está dado por la disminución en los beneficios que la firma sufre para alcanzar e con respecto a la situación sin regulación. Esto es,

c(w, p, e) = π(w, p, e^{u}) − π(w, p, e)

Esta es la función de costos de abatimiento de una firma perfectamente competitiva.

Basándonos en las propiedades de la función de beneficios de la firma competitva, que ya conocemos, podemos establecer que

• c_{e}(w, p, e) = −π_{e}(w, p, e) < 0 y

• c_{ee}(w, p, e) = −π_{ee}(w, p, e) > 0.

La función de costos de abatimiento de una firma competitiva c(w, p, e) es estrictamente decreciente y estrictamente convexa en el nivel de emisiones e.

Notar que la función de costos de abatimiento arriba definida no es la función de costos de la empresa c(w, q, e).

Para distintos niveles de e, esta última nos dará los costos de abatimiento condicional a q (q = \overline{q}), únicamente.

La función de costos de abatimiento en terminos de abatimiento

(a = e^{u} − e) es c(w, p, a) = π(w, p, e^{u}) − π(w, p, e^{u} − a), con

• c_{a}(w, p, a) = π_{e}(w, p, e^{π} − a) > 0 y

• c_{aa}(w, p, a) = −π_{ee}(p, e^{π} − a) > 0.

c(p, a) es estrictamente creciente y estrictamente convexa en el abatimiento

2 La Función de Costos de Abatimiento de Empresas en Mercados no Competitivos

n firmas idénticas compiten á la Cournot.

p(q_{i} + q_{−i}) : la función inversa de demanda, con q_{i} : la cantidad producida y vendida por la firma i y q_{−i} = ∑_{j≠i} q_{j}

Los insumos son comprados en mercados competitivos

El estándar de emisiones e aplica a todas las firmas.

La función de costos de la i-ésima firma es c(w, q_{i}, e).

Asumiendo un comportamiento Nash, i elige su nivel de producción tal que maximiza los beneficios p(q_{i} + q_{−i})q_{i} − c(w, q_{i}, e).

La condición de primer orden para una solución interior es

p′(q_{i} + q_{−i})q_{i} + p(q_{i} + q_{−i}) − c_{q}(w, q_{i}, e) = 0

En un equilibrio simétrico tenemos que

p′(nq)q + p(nq) − c_{q}(w, q, e) = 0

donde q es el nivel de producción de cada una de las firmas. La ecuación anterior define implícitamente el nivel de producción

para cada firma en el equilibrio de Cournot, q(w, n, e), si se cumple la siguiente condición de segundo orden

S = 2p′(nq) + p′′(nq)q − c_{qq}(w, q, e) < 0

2

La función de beneficios de cada una de las firmas es

π(w, n, e) = p(nq(w, n, e))q(w, n, e) − c(w, q(w, n, e), e)

y su función de costos de abatimiento es

c(w, n, e) = π(w, n, e^{u}) − π(w, n, e)

Diferenciando con respecto a e y operando obtenemos los siguiente resultados:

2Notar que por más que derivamos con respecto a q estamos calculando la variación en el nivel de producción de una sola firma, q_{i}.Es por ello que no se multiplica por n.

• Para n = 1 (el caso de un monopolista), la función de costos de abatimiento tiene las mismas propiedades básicas que una función de costos de abatimiento de una firma competitiva.

• Sin embargo, para firmas idénticas de Cournot (n > 1) no podemos decir mucho acerca de la estructura de sus funciones de costos de abatimiento. Necesitamos asumir signos para las derivadas terceras de c(w, q, e) y la inversa de la función de demanda.

3 Estándares de Emisión Minimizadores de los Costos de Abatimiento

Suponga que el regulador quiere alcanzar un nivel total de emisiones E de la forma menos costosa posible. Supongamos que el contaminante cuyas emisiones se quieren regular se mezcla uniformemente en el ambiente; i.e.: no importa dónde esté localizada la fuente de emisión, el impacto sobre la calidad ambiental objeto de regulación es el mismo. La cantidad de firmas a regular es n y las emisiones de la firma i se denotan como e_{i}. Los costos de abatimiento de las firmas pueden ser diferentes. La función de costos de abatimiento para la iésima firma será c_{i}(e_{i}). Asumiremos que c′_{i}(e_{i}) < 0 y c′′_{i}(e_{i}) > 0 para cada una de las n firmas. El problema para el regulador es encontrar una asignación de emisiones entre las firmas reguladas que minimice los costos agregados de abatimiento sujeto a que el nivel total de emisiones no supere E. Esto es,

min_{(e_{1},e_{2},...,e_{n})} ∑_{i} c_{i}(e_{i})

sujeto a ∑_{i} e_{i} = E  (1)

Notar que no incluímos (por el momento) los costos administrativos y de fiscalización del regulador.El Lagrangeano de este problema es

L = ∑_{i} c_{i}(e_{i}) + λ (E − ∑_{i} e_{i})

Restringiendonos a soluciones interiores, y dado los supuestos sobre c_{i}(e_{i}), las siguiente condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para identificar a una asignación de emisiones que minimice los costos:

(1)\frac{∂L}{∂e_{i}} = c′_{i}(e_{i}) − λ = 0, para todo i = 1, ...n.
(2)\frac{∂L}{∂λ} = E − ∑_{i} e_{i} = 0

De estas condiciones de primer orden se desprenden un par de resultados. Primero: para alcanzar un determinado nivel total de emisiones objetivo minimizando los costos agregados de abatimiento las emisiones deben asignarse tal que se igualen los costos marginales de abatimiento de todas las firmas reguladas. (Demostración: c′_{i}(e_{i}) = −λ, para todo i = 1, ...n, implica que c′_{i}(e_{i}) = c′_{j}(e_{j}) para todo i ≠ j. Q.E.D.) Segundo: Los costos agregados de abatimiento mínimos son decrecientes en el nivel de emisiones agregado objetivo E. Demostración: la función de costos de abatimiento agregado es ∑_{n} c_{i}(e_{i}(E)). Aplicando el teorema del envolvente, el costo marginal agregado de abatimiento

será ^{\frac{∂[∑_{n} c_{i}(e_{i}(E)]}{∂E}} = \frac{∂L}{∂E} = λ. Y la función de costos agregados marginales será λ(E). Como λ(E) = c′_{i}(e_{i}(E)) y c′_{i}(e_{i}) < 0 para todo i = 1, ..., n, λ(E) < 0. Por lo tanto, ∑_{n} c_{i}(e_{i}(E)) es una función estrictamente decreciente en E. Q.E.D.

Antes de seguir, derivaremos una relación que será útil en lo que sigue. Para una asignación óptima de emisiones tenemos que c′_{i}(e_{i}(E)) = λ(E) para todo i = 1, ...n, y E = ∑_{i} e_{i}. Como c_{i}(e_{i}) es estrictamente convexa, c′_{i}(e_{i}) es monotónicamente creciente, y por lo tanto tiene una función inversa a la que llamaremos f_{i} que es también monotónicamente creciente. Aplicando f_{i} a ambos lados de c′_{i}(e_{i}(E)) = λ(E) obtenemos

f_{i} [c′_{i}(e_{i}(E))] = e_{i}(E) = f_{i} [λ(E)]

Sumando en n obtenemos ∑_{i} e_{i}(E) = ∑_{i} f_{i} [λ(E)] . Aplicando la restricción E = ∑_{i} e_{i} obtenemos

∑_{i} f_{i} [λ(E)] = E

4 Un Impuesto a las Emisiones

Supongamos que el regulador quiere alcanzar el nivel agregado de emisiones E con un impuesto t por unidad de emisiones. El objetivo de una firma cuando se enfrenta a un impuesto unitario a las emisiones es minimizar los costos de abatimiento más los pagos por impuesto: c_{i}(e_{i}) + te_{i}.^{3} Como esta función objetivo es estrictamente convexa en las emisiones, las condición de primer orden c′_{i}(e_{i}) = −t es necesaria y suficiente para identificar un nivel de emisiones que minimiza los costos de las empresa i, i = 1, ..., n. Como el impuesto es igual para todas las firmas tendremos que éste logra igualar los costos marginales de todas las firmas. por lo tanto el impuesto minimiza los costos agregados de abatimiento. Resta asegurarnos que la suma total de las emisiones de las n firmas es igual a E. Basándonos en el punto anterior fijamos t = −λ(E), con lo que la condión de primer orden de la empresa i se transforma en c′_{i}(e_{i}) = λ(E). A continuacion aplicamos f_{i}, la inversa de c′_{i}(e_{i}) a ambos lados de la igualdad y obtenemos f_{i} [c′_{i}(e_{i})] = e_{i} = f_{i} [λ(E)] . Por último, sumamos para todas las firmas y obtenemos ∑_{i} e_{i} = ∑_{i} f_{i} [λ(E)] = E por la relación establecida en el apartado anterior. Por lo tanto, un impuesto por unidad de emisiones t = −λ(E) para todas las firmas logrará alcanzar E minimizando los costos agregados de abatimiento.

3Notar que como c_{i}(e) = π_{i}(e^{u}) − π_{i}(e), asumir que la firma quiere minimizar los costos de abatimiento es lo mismo que asumir que la firma quiere maximizar π_{i}(e), los beneficios (cuando está regulada).

5 Permisos de Emisión Comercializables

Supongamos ahora que el regulador implementa un mercado de permisos de emisión comercializables para alcanzar el mismo objetivo E. Sea l_{i}^{0} la asignación inicial de permisos de la empresa i y sea l_{i} el número de permisos en poder de la misma empresa luego del intercambio. La posesión de un permiso le permite a la empresa a emitir una unidad de contaminación (por ejemplo, una tonelada de SO_{2}). Por lo que, asumiendo cumplimiento perfecto l_{i} = e_{i}. El regulador emite una cantidad total de permisos igual a E, por lo que asumiendo además que el mercado de permisos llega a un equilibrio

∑_{i} l_{i}^{0} = ∑_{i} l_{i} = ∑_{i} e_{i} = E

Supongamos que las firmas transan permisos en un mercado competitivo (no hay costos de transacción y ninguna empresa tiene poder de mercado en el mercado de permisos) tal que éste llega a un equilibro a un precio p^{l}. La función objetivo de una firma i que participa de un mercado de permisos comercializables será minimizar c_{i}(e_{i})+p^{l}(l_{i}−l_{i}^{0}). Si restringimos nuestra atención a las soluciones interiores (l_{i}^{0} > 0), la siguiente condición de primer orden será necesaria y suficiente: −c′_{i}(l_{i}) = p^{l} para hallar el nivel de permisos que demandará una firma minimizadora de costos. Asumiendo que l_{i} = e_{i} las firmas demandarán

permisos hasta que se sus costos marginales de abatimiento sean iguales al precio de los permisos. Como supusimos que el mercado es competitivo, cada firma i enfrenta el mismo p^{l} y por lo tanto los costos marginales de todas las firmas serán iguales entre sí e iguales al precio en equilibrio. La condición de primer orden implícitamente define la función de demanda de permisos de cada firma i, l_{i}(p^{l}). Por el supuesto de equilibrio de mercado (ecuación anterior) sabemos que ∑_{i} l_{i} = E, el objetivo agregado de emisiones es alcanzado. Para cualquier asignación arbitraria de permisos (l_{1}^{0}, l_{2}^{0}, ..., l_{n}^{0}) que satisfaga l_{i}^{0} ≥ 0 y ∑_{i} l_{i}^{0} = E, un mercado competitivo de permisos logrará alcanzar E a un costo mínimo.

Aún más, la asignación inicial de permisos no importa en este marco inicial que supusimos. Ésta puede ser usada para otros fines (equidad o viabilidad política, por ejemplo).

¿Cuál será el nivel del precio de los permisos en equilibrio? La condición de primer orden c′_{i}(l_{i}) = −p^{l} define la función de demanda de permisos de la empresa i, l_{i}(p^{l}).Por lo tanto c′_{i}(l_{i}(p^{l})) ≡ −p^{l}. Aplicando f_{i}, la inversa de c′_{i}(e_{i}) a ambos lados de la igualdad: f_{i} [c′_{i}(l_{i}(p^{l}))] = l_{i}(p^{l}) = f_{i}(−p^{l}). Y sumando en i obtenemos ∑_{i} l_{i}(p^{l}) = ∑_{i} f_{i}(−p^{l}). El supuesto de equilibrio de mercado implica ∑_{i} f_{i}(−p^{l}) = E y el resultado antes obtenido implica a su vez que ∑_{i} f_{i}(−p^{l}) = ∑_{i} f_{i}(λ(E)). Como c′_{i} es monotónica, f_{i} y ∑_{i} f_{i} también lo son. Por lo tanto ∑_{i} f_{i}(−p^{l}) = ∑_{i} f_{i}(λ(E)) requiere p^{l} = −λ(E).Para cualquier asignación arbitraria de permisos (l_{1}^{0}, l_{2}^{0}, ..., l_{n}^{0}) que satisfaga l_{i}^{0} ≥ 0 y ∑_{i} l_{i}^{0} = E, un mercado competitivo de permisos establecerá un p^{l} = −λ(E)

El resultado es el mismo que con el impuesto a las emisiones. Pero hay diferencias. Con un impuesto el regulador requerirá información sobre los costos de abatimiento de las firmas para fijar el t correcto. Con los permisos comercializables no. Las firmas también es probable que prefieran los permisos transferibles ya que son activos con valor.

Hasta el momento hemos asumido implicitamente que las emisiones se distribuyen uniformemente en el ambiente, bajo este supuesto, lo que importa para la politica ambiental es la cantidad agregada de emisiones generadas, no donde se originan las mismas. En esta sección, vamos a considerar el caso en que sí es importante la locacion de las emisiones para el control ambiental.

Dos firmas (1 y 2) emiten un contaminante a un río que fluye hacia una ciudad. El regulador no está directamente interesado en las emisiones de las firmas sino en la concentración de este contaminante en el río a la altura de la ciudad. Llamaremos α a esta concentración, tal que

α = h_{1}e_{1} + h_{2}e_{2}

Los h_{i}‘s se llaman coeficientes de transferencia (o de impacto). Inversamente relacionados con la distancia desde el punto de emisión de la firma y la ciudad.

El regulador quiere elegir un par de estándares de emisión (s_{1}, s_{2}) tal que

min c_{1}(s_{1}) + c_{2}(s_{2})
s.a.\overline{α} ≥ h_{1}s_{1} + h_{2}s_{2}

siendo \overline{α} la concentración máxima permitida en la ciudad. El lagrangeano de este problema es

L = c_{1}(s_{1}) + c_{2}(s_{2}) + λ [\overline{α} − h_{1}s_{1} + h_{2}s_{2}]

y las condiciones de primer orden

c′_{i}(s_{i}) − λh_{i} = 0, i = 1, 2
\overline{α} = h_{1}s_{1} + h_{2}s_{2}

La solución es s_{1}^{∗} = s_{1}(\overline{α}, h_{1}, h_{2}), s_{2}^{∗} = s_{2}(\overline{α}, h_{1}, h_{2}), λ^{∗} = λ(\overline{α}, h_{1}, h_{2})

En el caso de los contaminantes que se mezclan uniformente en el ambiente la regla para minimizar costos agregados de abatimiento era que los costos marginales de todas las empresas debían ser iguales. Esto ya no es cierto si el lugar de emisión importa. En este caso la regla es,

\frac{c′_{1}(s_{1})}{c′_{2}(s_{2})} = \frac{h_{1}}{h_{2}}

La asignación de emisiones (o el par de estándares de emisión) que minimiza los costos agregados requiere que el cociente entre los costos marginales sea igual al cociente entre los coeficientes de transferencia.

5.1 Un Impuesto a las Emisiones

De las condiciones de primer orden del problema del regulador planteado más arriba vemos que el impuesto que logre e_{i} = s_{i}(\overline{α}, h_{1}, h_{2}) para cada i no será único sino que en este caso será un par de impuestos (t_{1} y t_{2}) tal que

t_{i} = −λ(\overline{α}, h_{1}, h_{2}) ∗ h_{i}, i = 1, 2

Si h_{i} está inversamente relacionado con la distancia la firma más cerca de la ciudad tiene que enfrentar un impuesto más alto. λ(\overline{α}, h_{1}, h_{2}) es el costo marginal agregado de abatimiento de incrementar objetivo de calidad ambiental.^{4}

5.2 Dos Localidades

A un nivel de dificultad mayor para el regulador, éste puede estar interesado en regular el impacto de las emisiones de estas dos firmas en dos localidades ( A y B). Llamaremos α_{j} a la concentración del contaminante en la localidad j y h_{ij} al coeficiente de transferencia (impacto) de las emisiones de la fuente (firma) i (el que seguimos suponiendo constante) en la concentración de la localidad j.

El regulador quiere que las concentraciones en ambas localidades no superen \overline{α}_{A} y \overline{α}_{B} respectivamenten y quiere fijar los estándares s_{1} y s_{2} que

min c_{1}(s_{1}) + c_{2}(s_{2})
s.a.

[ \begin{matrix}\overline{α} & A \\ \overline{α} & B \end{matrix} ] ≥ [ \begin{matrix}h_{1A} & h_{2A} \\ h_{1B} & h_{2B} \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}s_{1} \\ s_{2} \end{matrix} ]

El Lagrangeano del problema del regulador es

L = c_{1}(s_{1}) + c_{2}(s_{2}) + λ_{A} [\overline{α}_{A} − h_{1A}s_{1} + h_{2A}s_{2}] + λ_{B} [\overline{α}_{B} − h_{1B}s_{1} + h_{2B}s_{2}]

Y las condiciones de Kuhn-Tucker son:

1)c′_{i}(s_{i}) − λ_{A}h_{iA} − λ_{B}h_{iB} = 0, i = 1, 2
2)\overline{α}_{j} − h_{1j}s_{1} + h_{2j}s_{2} ≥ 0; λ_{j} ≤ 0; (\overline{α}_{j} − h_{1j}s_{1} + h_{2j}s_{2}) ∗ λ_{j} = 0, j = A, B

Llamando H a la matriz de coeficientes de impactos h, escribimos las soluciones a este problema como s_{1}^{∗} = s_{1}(\overline{α}_{A}, \overline{α}_{B}, H), s_{2}^{∗} = s_{2}(\overline{α}_{A}, \overline{α}_{B}, H), λ_{A}^{∗} = λ_{A}(\overline{α}_{A}, \overline{α}_{B}, H), λ_{B}^{∗} = λ_{B}(\overline{α}_{A}, \overline{α}_{B}, H). Para ilustrar posibles soluciones a este problema, podemos escribir:

s_{1} = (\overline{α}_{j}/h_{1j}) − (h_{2j}/h_{1j}) s_{2} , j = A, B

4Puede resultar ilustrativo encontrar las siguientes estáticas comparativas: \frac{∂s_{1}^{∗}}{∂h_{1}} , \frac{∂s_{2}^{∗}}{∂h_{1}} , \frac{∂λ^{∗}}{∂h_{1}} ; e interpretar los resultados en función de la distancia.

la que nos da todas las combinaciones de s_{1} y s_{2} tal que la calidad ambiental en la localidad j es igual a \overline{α}_{j}. Un ejemplo de las ecuaciones anteriores se encuentra en el gráfico que sigue. Posibles soluciones a las ecuaciones de Kuhn-Tucker se indican como (i), (ii), (iii). En el caso (i) la restricción \overline{α}_{B}está activa mientras que la de \overline{α}_{A} no, por lo tanto λ_{B}^{∗} < 0 y λ_{A}^{∗} = 0. En el caso (ii) lo contrario. En el caso (iii) las dos están activas: λ_{B}^{∗} < 0 y λ_{A}^{∗} < 0.

Soluciones posibles al problema del regulador

Impuesto El impuesto que debería fijar el regulador en el caso (i) es : t_{i}^{∗} = −λ_{B}^{∗}h_{iB}, i = 1, 2; en el caso (ii): t_{i}^{∗} = −λ_{A}^{∗}h_{iA}, i = 1, 2; y en el caso (iii): t_{i}^{∗} = −λ_{A}^{∗}h_{iA} − λ_{B}^{∗}h_{iB}, i = 1, 2.

5.3 Permisos Transferibles con Emisiones Diferenciadas en el Espacio

Supongamos que tenemos I fuentes indexadas por i y J localidades receptoras

indexadas por j. Definimos al vector E como el vector de los niveles de emisiones de las I firmas, E = (e_{1}, e_{2}, ..., e_{I}). El vector A por suparte es el vector de las calidades ambientales de las J localidades bajo regulación, A = (α_{1}, α_{2}, ..., α_{J}). La matriz de coeficientes de transferencia H se define de la misma forma que se hizo más arriba, H = [h_{ij}]_{I×J} . A = E × H. Las funciones de costos de abatimiento de las I firmas, c_{i}(e_{i}), se asument monotónicamente decreciente en e y estrictamente convexa.

Sea \overline{A} = (\overline{α}_{1}, \overline{α}_{2}, ..., \overline{α}_{J})

E^{∗} = min_{E} ∑_{i} c_{i}(e_{i})
s.a. \overline{A} = E × H

5.3.1 Sistema de Permisos Ambientales (Montgomery, 1972)

Un permiso ambiental es un permiso que otorga el derecho a contaminar más que a emitir. Está definido en términos de concentraciones ambientales

¿Cómo se relaciona el derecho a contaminar con el derecho a emitir? Definimos l_{ij} = licencias en poder de i que confieren derecho a contaminar sitio j. L_{i} = (l_{i1}, l_{i2}, ..., l_{iJ}) es el portafolio de licencias para i. Consideramos una función R que traduce el derecho de i a contaminar J lugares en sus derechos a emitir

e_{i} ≤ R(H, L_{i})
R = min_{j}(l_{ij}/h_{ij})

¿Por qué? l_{ij} ≥ e_{i}h_{ij} ⟹ l_{ij}/h_{ij} ≥ e_{i} para todo j, por lo tanto e_{i} = min_{j} l_{ij}/h_{ij}

Equilibrio de Mercado L_{i}^{0} = (l_{i1}^{0}, l_{i2}^{0}, ..., l_{iJ}^{0}) es la asignación inicial de permisos para la firma i. L^{0} = (L_{1}^{0}, L_{2}^{0}, ..., L_{I}^{0}) es la asignación inicial agregada de permisos. Un equilibrio de mercado es un set de portafolios L^{∗} = (L_{1}^{∗}, L_{2}^{∗}, ..., L_{I}^{∗}), un set de emisiones E^{∗} = (e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗}, ..., e_{I}^{∗}) y un set de precios p^{∗} = (p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}, ..., p_{J}^{∗}) tal que

(1) Para cada i, (L_{i}^{∗}, e_{i}^{∗}) satisface

min c_{i}(e_{i}^{∗}) + ∑_{j=1}^{J} p_{j}^{∗}(l_{ij}^{∗} − l_{ij}^{0})  (3)
s.a. e_{i}^{∗} ≤ R(H, L_{i}^{∗})  (4)

(2) ∑_{j=1}^{J}(l_{ij}^{∗} − l_{ij}^{0}) ≤ 0

(3) ∑_{j=1}^{J} p_{j}^{∗} [∑_{i=1}^{I}(l_{ij}^{∗} − l_{ij}^{0})] = 0 (Ley de Walras)

Un vector de emisiones E que minimiza los costos agregados de alcanzar \overline{A} sujeto a licencias es un E que cumple

min_{E} ∑_{i=1}^{I} c_{i}(e_{i})

s.a. L^{0} ≥ E × H E ≥ 0

Los resultados más importantes de este modelo son: un equilibrio del mercado del sistema de permisos ambientales existe, un equilibrio de mercado minimiza los costos agregados, si el regulador fija \overline{A} = L^{0} logra el objetivo al mínimo costo, y es independiente de la asignación inicial.

5.4 Un Sistema de Compensación de Emisiones^{5} (Gartland y Oates, JEEM, 1985)

Un sistema de compensación de emisiones define los permisos en función de las emisiones, pero éstos no se cambian a razón de uno por uno. Supongamos dos fuentes (1, 2) y dos localidades receptoras (A, B). El comercio entre ambas fuentes está restringido por

[ \begin{matrix}\overline{α} & A \\ \overline{α} & B \end{matrix} ] ≥ [ \begin{matrix}h_{1A} & h_{2A} \\ h_{1B} & h_{2B} \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}s_{1} \\ s_{2} \end{matrix} ]

El conjunto de emisiones posibles, al igual que antes, está definido por las líneas de iso-concentración:

s_{1} = (\overline{α}_{A}/h_{1A}) − (h_{2A}/h_{1A}) s_{2}
s_{1} = (\overline{α}_{B}/h_{1B}) − (h_{2B}/h_{1B}) s_{2}

Consideremos ahora las curvas de nivel de los costos agregados de abatimiento. Dicha curva de nivel viene dada por las funciones e_{1}(e_{2}, c^{0}), implícitamente definidas por c_{1}(e_{1}) + c_{2}(e_{2}) − c^{0} = 0. Notar que por definición

c_{1}(e_{1}(e_{2}, c^{0})) + c_{2}(e_{2}) − c^{0} ≡ 0  (5)

Diferenciando 5 con respecto a e_{2}

c′_{1}(e_{1}(e_{2}, c^{0})) × \frac{∂e_{1}(e_{2}, c^{0})}{∂e_{2}} + c′_{2}(e_{2}) = 0

lo que implica

\frac{∂e_{1}(e_{2}, c^{0})}{∂e_{2}} = −\frac{c′_{2}(e_{2})}{c′_{1}(e_{1}(e_{2}, c^{0}))} < 0  (6)

lo que indica que las curvas de nivel de iso-costos tienen pendiente negativa. Para estudiar la curvatura, diferenciamos 6

\frac{∂e_{1}^{2}(e_{2}, c^{0})}{∂^{2}e_{2}} = \frac{− [c′′_{2}c′_{1} − c′_{2}c′′_{1} (δe_{1}/δe_{2})]}{(c′_{1})^{2}} > 0

que indica que las curvas de nivel son estrictamente convexas. En el gráfico que sigue se ven dos posibles líneas de iso-concentración y dos curvas de iso-costo (c^{0} y c^{1}). Notar que c^{1} < c^{0}.

Supongamos una asignación inicial de permisos (e_{1}^{0}, e_{2}^{0}) y una combinación de emisiones que minimiza costos agregados (e_{1}^{∗}, e_{2}^{∗})

5Ver McGartland y W Oates, "Marketable Permits for the Prevention of Enviromental Deteioration", Journal of Environmental Economics and Management 12, 1985, 207-208.

Sistema de compensación de emisiones: permisos no se intercambian uno a uno

Las licencias no se intercambian uno a uno sino a la tasa (h_{2B}/h_{1B}) , que es la pendiente de la recta de iso-calidad ambiental en la localidad B. Ejemplo: h_{2B}/h_{1B} = 0, 2/0, 4 = 0, 5. e_{1} = 1/2e_{2}. Una unidad de emisión de 2 vale la mitad (en términos de impacto sobre la calidad ambiental en B ) que una unidad de una unidad de emisión de 1. 1 tiene que comprar 2 permisos 2 para poder emitir una unidad de e_{1}.

6 Discusión impuestos vs. permisos

(1) Para fijar el impuesto correcto el regulador tiene que saber los CMA. Para implementar un sistema de permisos no.

(2) Con un impuesto a las emisiones se requiere ajustar el impuesto por cada nueva firma contaminante. Con los permisos no.

(3) Con los permisos hay que ajustar la cantidad de contaminación permitida a medida que avanza el progreso tecnológico y cambian las preferencias. Con un impuesto no, si éste está indexado.

(4) Los permisos son un activo para las empresas. Puede ser políticamente más viable. Sobretodo si se entregan sin costo al principio.

(5) Diferentes impuestos de acuerdo a la localización de las empresas pueden no ser legales.

(6) ”Doble dividendo” de los impuestos: al poner impuestos a las emisiones el regulador puede disminuir los impuestos sobre otros bienes, con lo cuál internaliza externalidades y reduce distorsión de otros impuestos.

References

[1] Mas-Colell, A., M.D. Winston y J. R. Green (1995), ”Microeconomic Theory”, Oxford University Press.

[2] Stranlund, John (1999), Fundamental Economics of Environmental Policy Design, mimeo.

[3] Xepapadeas, A. (1997), “Advanced Principles in Environmental Policy”, New Horizons in Environmental Economics, Edward Elgar.