Solucion al Práctico N^{o}2

I.- Consumo Envidioso

1. Restringiendo la función de utilidad i.- ”Cada uno obtiene una utilidad marginal positiva de su propio consumo”:

u_{c} > 0; U_{C} > 0

ii.- ”Cada uno obtiene una utilidad marginal negativa del consumo del otro": u_{C} < 0; U_{c} < 0

iii.- Desutilidad del trabajo: u_{h} < 0; U_{H} < 0 iv.- ”cuanto más consume un individuo, mayor es la utilidad marginal del

consumo para el otro”: \frac{∂u_{c}}{∂C} > 0; \frac{∂U_{C}}{∂c} > 0

1.1.-Derivadas para minusculas i. - ∂u/∂c = u_{c} = a + gC > 0 - utilidad marginal del consumo propio. ii. - ∂u/∂C = u_{C} = −ab + gc < 0 - desutilidad marginal del consumo del

otro.

iii. - ∂u/∂h = u_{c} = 2dh < 0 - desutilidad marginal del esfuerzo propio (trabajo).

iv.- ∂/∂C(∂u/∂c) = g > 0 - utilidad marginal del consumo propio aumenta respecto al consumo del otro.

1.2.- Rangos de valores. De iv. : g > 0 (por iv.) De iii. : 2dh < 0 , y como h > 0, entonces d < 0 De i. : a + gC > 0, y como C > 0 y g > 0, entonces gC > −a De ii. : −ab + gc < 0, como g > 0, c > 0, entonces ab > gc > 0, o b > gc/a

1.3.- b = 1; b = −1 Asumimos que las desigualdades de arriba se siguen cumpliendo, por lo que

en ambos casos se cumple que ∂u/∂C = u_{C} = −ab + gc < 0, el individuo es envidioso.

Ahora, asumiendo esto: Si b = 1, entonces u = a(c − C) + gcC + dh^{2}, o u = ac + (gc − a)C + dh^{2} Como b > 0, para que se cumpla ab > gc > 0, en este caso, a > gc > 0.

a > 0 significa que el individuo mide la diferencia entre su propio consumo c y el consumo del otro C, (c − C). Experimenta envidia (∂u/∂C < 0) porque un incremento en C disminuye esta diferencia si es positiva, o la hace más negativa.

Si b = −1, entonces u = a(c + C) + gcC + dh^{2}, o u = ac + (gc + a)C + dh^{2} Como b < 0, y como ab > gc > 0, en este caso, −a > gc > 0, o a < 0.

Por lo tanto en este caso el individuo es anti-consumista. Cuanto mayor es la suma de ambos consumos (c + C) peor está. La "envidia" obedece al hecho de que cuando aumenta C mayor es el consumo "en el mundo", lo que le provoca desutilidad.

2.- Juego del consumo envidioso.-

2.1.- Definicion de un juego no cooperativo: Dicho juego asume que los jugadores no pueden asegurarse de que si escriben un contrato o se ponen de acuerdo sobre las acciones a tomar antes de efectivamente llevarlas a cabo cada uno, este contrato o acuerdo vaya a ser cumplido.

2.2.- La matriz se deriva de la estimacion del nivel de utilidad para minuscula y mayuscula para cada una de las posibilidades del set de accion, h = 1/3 y h = 1/4.

Mayuscula

H = 1/3 = 8 horas H = 1/4 = 6 horas
Minuscula h = 1/3 = 8 horas (4/72, 4/72) Nash (5/72, 3/72) P.O.
h = 1/4 = 6 horas (3/72, 5/72) P.O.  (4.5/72, 4.5/72) P.O.

2.3.- Es un DILEMA DEL PRISIONERO, porque.

2.4.- (ver matriz). Trabajar h=1/3 del dia, y H=1/3 del dia son las estrategias dominantes para los respectivos individuos.

2.5..- (ver matriz)

2.6.- Una Falla de Coordinacion ocurre cuando hay interacción no-cooperativa y los jugadores no toman en cuenta de forma completa los efectos de sus propias acciones en el bienestar de los demas y por lo tanto terminan en una situación que no es un óptimo de Pareto.

En este juego ocurre una falla de coordinación porque en euilibrio de Nash no es un optimo de Pareto. En otras palabras, si los dos deciden trabajar 1/4 del dia, el resultado para ambos sera mayor a 4.5/72.

2.7.- Este juego incluye una falla de coordinacion basicamente porque el nivel de consumo de mayuscula y minuscula afectar el nivel de utilidad del otro (existen externalidades) y no son tomadas en consideracion por los individuos.

3.- Funciones de mejor respuesta:

Set de accion: (h = (0, 1) , H = (0, 1))

3.1.- Problema de optimizacion:

max_{h=c} u = a(h − bH) + ghH + dh^{2}

3.2.- CPO:

∂u/∂h = a + gH + 2dh = 0

Minuscula...

h(H) = −1/2d(a + gH) = −a/2d − gH/2d

Mayuscula..

H(h) = −1/2D(A + Gh) = −1/2d(a + gh)

3.3.- Lal CPO dice que a + gH + 2dh = 0, o u_{c} = −u_{h}. Minuscula iguala su utilidad marginal de consumo a su desutilidad marginal de trabajo.

En el caso de mayuscula la interpretacion es exactamente la misma.

3.4.- ∂h(H)/∂H = −g/2d = h_{H}. Con d < 0, g > 0 ⇒ h_{H} > 0, Un incremento en las horas trabajadas por el otro incrementa las de uno.

3.5.- Ajuste fuera de equilibrio Del punto 3.4. sabemos que la fmr tiene pendiente positiva. En ese caso dos

cosas pueden pasar, a) que las dos fmr encuentren un equilibrio en cierto punto donde h > 0, H > 0, o b) que no exista equilibrio (son paralelas). Nuestro caso es el (a), lo que puede ser provado mostrando que la pendiente de H(h) es menor a 1. (Y la de h^{−1}(H) > 1). H´ (h) = −g/2d >0 porque g > 0 y d < 0. Ahora, H´ (h) < 1 ⇔ g < −2d. Si se cumple, dado que la pendiente de h^{−1}(H) es más alta que la de H(h), cualquier proceso ajuste lleva los niveles de h y H a los de equilibrio de Nash (la instersección de ambas rectas), a una tasa decreciente.

4.- Equilibrio de Nash 4.1.-grafico

h(H) = 1/4 + H/4
H(h) = 1/4 + h/4
h^{∗}(H) = 1/4 + 1/4 (1/4 + h/4)
= 1/4 + 1/16 + h/16
h^{∗} = 1/3
H^{∗} = 1/3

El mismo resultado que se obtiene sustituyendo los valores en la matriz.

4.2.-

h(H) = 1/8 + 5H/4
H(h) = 1/8 + 5h/4

En este caso no se cumple que g < −2d. Por consiguiente, el equilibrio (que no se da dentro de los valores 0 y 1 de h y H) es inestable. La solución será (1, 1), de esquina. OJO VER LETRA Hacer gráfico para verlo.

5. Optimalidad de Pareto 5.1.-maximizar la utilidad de un individuo sujeto a un nivel determinado de

la utilidad del otro

max_{h,H,λ} u = u(h, H) s.a. U = \overline{U}
Lagrange:  a(h − bH) + ghH + dh^{2} − λ [\overline{U} − a(H − bh) − ghH − dH^{2}]

5.2.- CPO para una solución interior:

1)\frac{∂L}{∂h} = (a + gH) + 2dh + λ (−ab + gH) = 0
2)\frac{∂L}{∂H} = (−ab + gh) + λ (a + gh + 2dH) = 0
3)\frac{∂L}{∂λ} = 0

De 1) y 2)

(a + gH) + 2dh = −λ (−ab + gH)
(−ab + gh) = −λ (a + gh + 2dH)

\frac{(a + gH) + 2dh}{(−ab + gh)} = \frac{(−ab + gH)}{(a + gh + 2dH)}

\frac{(a + gC) + 2dh}{(−ab + gh)} = \frac{(−ab + gH)}{(a + gc) + 2dH}

5.3.- La RMS neta entre el consumo (o esfuerzo) de Min y el de May se igualan para ambos individuos.

5.4.- h^{N} = \frac{−1}{2d} (a + gH)

h^{OP} = \frac{−1}{2d} (a + gH) + λ (−ab + gH) Dado que (−ab + gH) < 0 y λ > 0, h^{N} > h^{OP} . Como \frac{∂u}{∂h} < 0 , u^{N} < u^{OP} . 6.- Soluciones Cooperativas Actuar en forma cooperativa significa que ambos individuos maximizan sus

funciones de utilidad conjuntas y distribuyen equitativamente las ganancias.

6.1.-

max_{(h,H)} Utotal = a(h − bH) + ghH + dh^{2} + a(H − bh) + ghH + dH^{2}

CPO

\frac{∂Utotal}{∂h} = a + gH + 2dh − ab + gH = 0
\frac{∂Utot}{∂H} = −ab + gh + a + gh + 2dH = 0

De donde salen h^{COOP} (H) y H^{COOP} (h).

6.2.–

Utotal = 1/2h − 2h^{2} + 1/2H − 2H^{2} + 2hH

\frac{∂Utotal}{∂h} = 1/2 − 4h + 2H = 0
\frac{∂Utot}{∂H} = 1/2 − 4H + 2h = 0

h^{COOP} = 1/4 = h′
h^{COOP} = 1/4 = H′

6.3.- En la solución cooperativa la falla de coordinación ha sido resuelta. La externalidad por consumo del otro ha sido internalizada.

7. Intervención del Gobierno

7.1.- Como el origen de la falla de coordinación está en la interdependencia de los consumos, el impuesto debe ser fijado sobre los niveles de consumo c, C o trabajo h, H

7.2.- La función de utilidad de Min es ahora

a(h − bH) + ghH + dh^{2} − τh

La CPO de este problema es: \frac{∂u}{∂h} = a + gH + 2dh − τ = 0 En el óptimo se debe cumplir: \frac{∂u}{∂h} = a + gH + 2dh − ab + gH = 0 Es fácil ver que el impuesto debe fijarse en ab − gH.

2. Vecinos

1.1.-

i) El aumento de trabajo por parte de uno, aumenta el ingreso por alquiler de su propio edificio: ∂y^{i}/∂e^{i} = b + ce^{j} > 0

ii) y aumenta el ingresos por alquiler del otro edificio tambien: ∂y^{i}/∂e^{j} = ce^{i} > 0

iii) El aumento del esfuerzo tambien aumenta la productividad marginal del esfuerzo del vecino: ∂/∂e^{j}(∂y^{i}/∂e^{i}) = c > 0

También podemos suponer que a ≥ 0, ya que no tiene sentido que paguen por laquilar sus apartamentos, aún en ausencia de esfuerzo por parte de ambos propietarios.

Por último, g > 0, el esfuerzo genera desutilidad.

1.2.- Problema de optimización

max_{e^{i}} u^{i} = a + be^{i} + ce^{i}e^{j} − g(e^{i})^{2}

2.- Mejores Respuestas

2.1.- ∂u^{i}/∂e^{i} = b + ce^{j} − 2ge^{i} = 0 =>e^{i}(e^{j}) = \frac{b+ce^{j}}{2g} y e^{j}(e^{i}) = \frac{b+ce^{i}}{2g}

2.2.- ∂e^{i}(e^{j})/∂g = −\frac{(b+ce^{j})}{2g^{2}} < 0 2.3.1.- ∂e^{i}(e^{j})/∂e^{j} = c/ (2g) > 0 2.3.2.- ∂ [∂e^{i}(e^{j})/∂e^{j}] /∂g = −c/ (2g^{2}) < 0

3.- Equilibrio de Nash

3.1.- Cada individuo responde de la mejor manera: elige el nivel de esfuerzo que maximiza su utilidad dado el nivel de esfuerzo del otro

3.2.-

e_{N}^{i} = \frac{b + ce^{j}(e^{i})}{2g} = \frac{b + c\frac{b+ce^{i}}{2g}}{2g} = \frac{b}{2g − c} = e_{N}^{j}

3.3.-

e_{N}^{i} = \frac{4}{15} = e_{N}^{j}

3.4.- La nueva desutilidad marginal del esfuerzo es 1/4 (2ge) = 1/2ge. La

nueva CPO es ∂u^{i}/∂e^{i} = b + ce^{j} − ge^{i}/2 = 0 =>e^{i}(e^{j}) = \frac{2(b+ce^{j})}{g} y e^{j}(e^{i}) =

\frac{2(b+ce^{i})}{g}. Sustituyendo los parámetros por sus valores el EN da valores de e = 4/3. Como e tiene que estar entre 0 y 1 el EN es que ambos trabajan 24 horas al día ( e^{j} = e^{i} = 1)

4. Privatización

4.1.-

max_{e^{j},e^{i}} u_{i} = [(a + be^{i} + ce^{i}e^{j}) + (a + be^{j} + ce^{i}e^{j})] − g(e^{i})^{2} − g(e^{i})^{2}

El primer término entre paréntesis es el ingreso de i por la renta de los dos edificios. El segundo miembro es la desutilidad del esfuerzo de i. Y el tercero es el salario que le paga a j.

4.2.- CPO:

\frac{∂u_{i}}{∂e^{i}} = 2ce^{j} + b − 2ge^{i} = 0 ⇒ e_{i} = \frac{1}{2g} (2ce^{j} + b)
\frac{∂u_{i}}{∂e^{j}} = 2ce^{i} + b − 2ge^{j} = 0 ⇒ e_{j} = \frac{1}{2g} (2ce^{i} + b)

Dado que sabemos que ambos e^{j}, e^{i} van a ser iguales

e_{i}^{P} = \frac{b}{2 (g − c)} = e_{j}^{P}
e_{i}^{P} = \frac{2}{7} = e_{j}^{P}

4.3.-

e_{N}^{i} = e_{N}^{j} = \frac{4}{15} < e_{i}^{P} = e_{j}^{P} = \frac{2}{7}

Bajo el esquema de la privatización la externalidad positiva es internalizada por i (el dueño de ambos edificios) y por lo tanto elige niveles de e_{i} y e_{j} mayores.

4.4.- Sí, es un óptimo de Pareto ya que cualquier cambio en e_{i} o e_{j} hará que alguno de los dos esté peor. Si i trabaja menos su ingreso disminuirá. Si j trabaja menos, su utilidad no cambiará pero bajará el bienestar de i nuevamente.

4.5.- La privatización no es pareto-superior al equilibrio de nash porque j está peor. En el equilibrio de nash j experimentaba una utilidad positiva mientras que en este caso obtiene utilidad cero.