Capítulo 2: Orden Espontáneo La auto-organización de la vida económica

Una de las cosas que los economistas explicamos es cómo se dan resultados agregados que no tienen nada que ver con las preferencias individuales de los agentes que participan . Y cómo esto resultados evolucionan. Este es el objetivo de este capítulo.

El capítulo comienza con una visión general de la estructura básica del razonamiento evolutivo. Luego vemos un ejemplo: segregación residencial. Luego se presenta formalmente el modelo de la dinámica del replicador y el concepto de la estabilidad evolutiva. Para ilustrar el uso de estos conceptos se adapta el juego de el Halcón y la Paloma para estudiar la evolución de los derechos de propiedad. Finalmente se concluye sobre las perpspectivas del análisis evolutivo.

1 Ciencia Social Evolutiva

Los resultados agregados no son la suma de las acciones de los individuos. Éstos interactúan y afectan sus restricciones, creencias y preferencias.

El modelo más desarrolado a nivel agregado es el modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu. Aparte de éste, los únicos modelos con una evolución similar son los modelos de la dinámica evolutiva de los sistemas biológicos ante las influencias del azar, la selección natural. Los dos modelos son muy parecidos. En ambos existe competencia y aquellas acciones, preferencias o rasgos con mayores beneficios se reproducen.

Un replicador es algo que es copiado: los genes, preferencias, creencias, convenciones y otras insitutciones son repliaadores.

Un ejemplo para ilustrar el enfoque evolutivo

2 Segregación Residencial: un proceso evolutivo

En EEUU más de la mitad de la población blanca declara ue prefiere vivir en un barrio donde más del 20% sea negra. Sin embargo en Los Angeles, por ejemplo, más del 90% de los blancos vive en barrios con menos del 10% de negros, mientras que el 70% de los negros vive en barrios con menos de un 20% de blancos. ¿Cómo podría explicar un científico social evolutivo la coexistencia de preferencias por barrios multiraciles y la segregación residencial?

Un barrio donde todas las casas son igualmente deseables por los miembros de la población. Las preferencias de estos individuos con respecto al barrio depende únicamente de la composición racial del barrio. Los ”verdes” prefieren vivir en leve mayoría, pero no en un barrio segregado. Y lo mismo con los ”azules”. las preferencias de los individuos se representan por el precio p_{v} y p_{a} que los verdes y los azules estarían dispuestos a pagar por una casa en este barrio, los cuales dependenden de la proporción de casas del barrio ocupadas por verdes, f ∈ [0, 1] . Las siguientes ecuaciones son una forma de expresar las preferencias recién descritas:

p_{a}(f) = 1/2(f + δ) − 1/2(f + δ)^{2} + p
p_{v}(f) = 1/2(f − δ) − 1/2(f − δ)^{2} + p

donde p es el valor intrínseco que ambos grupos le otorgan a viviendas idénticas. Y es constante. Y donde δ ∈ (0, 1/2) . Diferenciando ambas funciones c.r.a. f e igualando a cero vemos que el barrio ideal para los azules está compuesto por una proporción f de verdes igual a 1/2 − δ, mientras que para los verdes la proporción óptima de verdes es 1/2 + δ. Normalizaremos el tamaño de un barrio a 1 para hablar indistintamente de la proporción de verdes y el número de verdes.

Supongamos que en un período de tiempo una fracción α de la población total decide poner en venta su casa. Los potenciales compradores son miembros de las comunidades que están alrededor. La proporción de potenciales compradores que son verdes es igual a la del barrio, f. Un comprador y un vendedor se juntan aleatoriamente. Por lo tanto en un período determinado el número esperado de verdes que son contactados por azules es αf(1 − f). Cada probable comprador se encuentra con un sólo vendedor por período. La probabilidad de que la venta se haga depende de la diferencia de las disposiciones a pagar y a cobrar. Entonces, si un azul pone a la venta su casa y lo visita un verde y f es tal que p_{v} > p_{a}, la probabilidad de que la venta se haga es β(p_{v} − p_{a}), siendo β un número positivo

Suponiendo que la población del barrio es lo suficientemente grande como para que las proporciones esperadas sean lo suficientemente cercanas a las verdaderas podemos escribir la proporción de verdes en el período siguiente, f´ , como f más la cantidad de azules que vende a verdes menos la cantidad de verdes que venden a azules:

f′ = f + αf(1 − f)ρ_{v}β(p_{v} − p_{a}) − αf(1 − f)ρ_{a}β(p_{a} − p_{v})

ρ_{v} = 1 si p_{v} > p_{a} o cero si sucede lo contrario, y ρ_{a} = 1 si p_{a} ≥ p_{v} o cero si sucede lo contrario. Con lo que estamos suponiendo que p_{v} y p_{a} son únicos. En realidad la misma ecuación se puede escribir más sencillamente como:

Δf = f′ − f = αf(1 − f)β(p_{v} − p_{a})  (1)

Δf = 0 cuando p_{a} = p_{v} y también cuando f = 0 o f = 1.La ecuación 1 es una ”ecuación de la dinámica del replicador”.

Un valor estacional de f es uno tal dΔf/df < 0.

FIGURA .1 AQUI

f = 1/2 es un equilibrio, ya que Δf = 0 porque p_{v} = p_{a}.P ero no es estable porque dΔf/df > 0.

Notar también que para δ < 1/4 ambos verdes y azules prefieren vivir en un barrio integrado a vivir en un barrio segregado compuesto por los mismo de su tipo. (Esto se puede ver fácilmente calculando p_{a}(1/2) = p_{v}(1/2) > p_{a}(0) = p_{v}(1)).

Conclusión: los equilibrios duraderos y que esperamos encontrar en este mercado son Pareto inferiores. Este resultado se da aún para δ muy pequeños.

Veremos Homogeneidad local + heterogeneidad global.

Finalmente, el equilibrio es sendero-dependiente. Si en el pasado reciente observamos un f < f^{∗} esperaremos encontrar un f = 0.

3 Modelando la Evolución del Comportamiento

Como la composición de un barrio, las reglas de comportamiento y las características institucionales de los grupos y su evolución a lo largo del tiempo depende de que rasgos son copiados y cuáles son abandonados.

"Rasgos" son cualquier característica de un individuo o grupo que puede ser adoptado por otros, abandonados o retenidos. Si los hijos de los Católicos retienen la religión de sus padres y los hijos de los Protestantes no, entonces la fracción de Católicos en la población va a crecer, ceteris paribus. Si las firmas cuyos jefes reconocen los derechos de sus trabajadores de agremiarse son más probables de fundirse, y si las firmas nuevas copian a las más rentables, la densidad de agremiasión va a bajar.

El modelo general de la evolución de los rasgos es el siguiente: suponga que existen dos rasgos mutuamente excluyentes: x e y. x puede ser cosas como "vender la mercadería a un p = CM”, "trabajar duro", "tener otro hijo", etc. y es un razgo alternativo a x en cada caso.

El modelo general es una generalización del modelo de la segregación barrial. Suponemos que los miembros de una población son apareados al azar para jugar un juego simétrico de dos personas. Los beneficios de este juego se escriben como π (i, j) , que es el beneficio de jugar i contra un jugador que juega j. Para cualquier frecuencia p ∈ [0, 1] del rasgo x en la población, los beneficios esperados de jugar x y de jugar y son:

b_{x}(p) = pπ (x, x) + (1 − p)π (x, y)
b_{y}(p) = pπ (y, x) + (1 − p)π (y, y)

No toda la población cambia de rasgo cuando se enfrenta a un "modelo cultural" (un competidor, un profesor, un compañero de trabajo, etc.). La fracción de la población total que podría hacerlo es ω ∈ (0, 1) . El resto de la población no va a cambiar su rasgo aunque se enfrente a un modelo cultural diferente. Similarmente a como hicimos en el modelo de segregación barrial podemos escribir el replicador dinámico de la siguiente forma:

Δp = p´ − p = ωp(1 − p)β(b_{x} − b_{y})

siendo β una constant positiva que mide el efecto de la diferencia de beneficios sobre la probabilidad de cambiar rasgos.

O al igual que en el caso de la segregación de barrios

Δp = ωpβ(b_{x} − \underline{b})

siendo \underline{b} el promedio ponderado de beneficios. La ecuación del repliador lo que nos da es Δp = γ(p), donde γ define la dirección y la velocidad del cambio para cada p. Un estado en el que p = p^{∗} y γ(p^{∗}) = 0 se llama estado estacionario. Un equilibrio es asintóticamente estable si si dΔp/dp < 0. Haciendo la derivada, podemos llegar a que dΔp/dp < 0 requiere que

\frac{db_{y}(p)}{dp} − \frac{db_{x}(p)}{dp} > 0

Estabilidad asintótica: p^{∗} es un equilibrio con estabilidad asintótica si pequeñas perturbaciones que muevan p alrededor de p^{∗} se auto-corrigen.

Si el equilibrio no es estable podemos estudiar la "cuenca de atracción" o el rango de atracción : si p^{∗} es el equilibrio inestable el rango de atracción para p = 0 son todos los p entre 0 y p^{∗}, en donde Δp < 0. Para p = 1 el rango de atracción es desde p^{∗} hasta 1.

3.1 Resultados sociales y estabilidad Evolutiva

¡Bajo qué condiciones una sociedad puede ser "invadida" por un nuevo rasgo?

Estrategia evolutivamente estable: y es un estrategi evolutivamente estable si en ua población donde todos juegan y, si una pequeña fracción de la población empieza a jugar x, y los individuos se aparean al azar, el beneficio esperado de jugar y es mayor que el de x y por lo tanto x va a ser eliminado.

Una pequeña proporción es p̃ ∈ (0, 1) . p̃ es la barrera de invasión.Es el equilibrio inestable que divide las dos cuencas de atracción.

Más formalmente para ver si y es una EEE tenemos que ver que pasa con Δp cuando p = ε, siendo ε un número pequeño.

El signo de Δp va a depender del signo de (b_{x}(ε) − b_{y}(ε))

b_{x}(ε) − b_{y}(ε) = [επ (x, x) + (1 − ε)π (x, y)] − [επ (y, x) + (1 − ε)π (y, y)]

Un comportamiento y es una EEE si b_{x}(ε) − b_{y}(ε) < 0, lo que para ε arbitrariamente pequeños sucede cuando [π (x, y)] − [π (y, y)] < 0 o cuando π(y, y) = π(x, y) pero π(y, x) > π(x, x).

Una EEE es una mejor respuesta contra si misma o si es una mejor respuesta contra sí misma en términos débiles, la otra no es una mefor respuesta contra sí misma.

Ua EEE es una equilibrio de Nash simétrico que es estable asintóticamente. Si la EEE no es estrictamente una mejor respuesta contra sí misma, entonces

el otro rasgo no va a ser eliminado pero tampoco va a proliferar. En este caso se dice que y es neutralmente estable.

Lo contrario a la estabilidad evolutiva es la capaidad de invadir, que se llama viabilidad inicial. Si x es inicialmente viable entonces y no es una EEE contra x. Puede serlo contra otra.

3.1.1 Un ejemplo: el juego del halcón y la Paloma

Beneficios de Fila

Halcón  Paloma
Halcón a = (v − c)/2 b = v
Paloma c = 0  d = v/2

Observación: si c > v H no es EEE. Y como P nunca lo es, ninguna de los dos lo es.

Los beneficios esperados cuando la fracción de Hs es p

bh(p) = pa + (1 − p)b
bd(p) = pc + (1 − p)d

los jugadores se aparean al azar. Al final del período cada miembro de la población produce un número de replicas igual a φ + sus beneficios esperados.

normalizando la población a la unidad podemos escribir la frecuencia de halcones el siguiente período como:

p′ = \frac{p(φ + b_{h})}{pb_{h} + (1 − p)b_{d} + φ}

Estamos interesados en Δp, así que restando p de ambos lados, y haciendo cuentas llegamos a la ecuación de la dinámica del replicador H

Δp = p′ − p = p(1 − p)(b_{h} − b_{d})

La cual se escribe, usando los beneficios de la matriz:

Δp = p′ − p = p(1 − p)1/2(v − pc)

Valores interiores estacionales de p son aquellos para los cuales b_{h} = b_{d}. Utilizando las definicines e igualando obtenemos un p^{∗} = v/c. La fracción

de halcones es una función creciente de v y decreciente de c.

Se puede chequear de que p^{∗} = v/c es estacioanrio sustituyendo en Δp. Como ambos beneficios esperados son iguales este equilibrio interior estable

es un equilibrio de Nash debil: las ods estrategias son mejores respuestas débiles. ¿es estable?

\frac{d(b_{h} − b_{d})}{dp} = \frac{d1/2(v − pc)}{dp} = −1/2c < 0

Si es estable. Un incremento en el número de halcones es perjudicial para los halcones.

FIGURA 2.2 Ninguno de las dos estrategias son nash equilibrios.

3.1.2 Assurance game

¿Qué pasa si ambos son EEE?

Assurance game de nuevo.

C  D
C π(C, C) = a π(C, D) = b
D π(D, C) = c π(D, D) = d

para qe sea un juego de aseguramiento como el de plantar en Palanpur, a > d. Las dos estrategias son mejores respuestas a si mismas por lo que debemos asumir que a > c y d > b.

Escriebiendo los beneficios esperados e igualandolos obtenemos el valor estacionario de p

p∗ = \frac{c − a}{b − a + c − d}

este equilibrio no es estable

\frac{d(b_{c} − b_{d})}{dp} = b − a + c − d > 0

”History matters”. Pero podemos decir más que eso?

Si nos dicen que este juego de un sólo round se juega en un número de islas por un tiempo lo suficientemente largo. También se nos dice que al comienzo, los individuos adoptaron sus estrategias al azar, luego de la cual cada uno ajusta de acuerdo a la ecuación de la dinámica del replicador de arriba. ¿Que es más probable que observemos en la mayor parte de las islas? ¿un equilibrio donde todos cooperan o uno en lo que todos no-cooperan. Como suponemos que las estrategias se determinan aleatoriamente al comienzo, esperaremos que p = 1/2 en la mayoría de las islas. Como p^{∗} < 1/2, esperarmiamos que en la mayoría de las islas se estuviera jugando no-cooperar. La base de atracción es mayor para no-cooperar que para cooperar.

El Juego del Aseguramiento con estrategias iniciales determinadas al azar nos enseña dos cosas. Primero, que incluyendo el tema del azar se puede decir más sobre el resultado final del juego que si no lo incluyéramos. Podemos decir algo más que ”la historia importa”. El azar es un mecanismo de selección de equilibrios. Dos, los equilibrios de Nash asintóticamente estables pueden no servir para nada para predecir el resultado final del juego. En este caso el equilibrio predecido no es el dominante en pagos. Vemos ahora otro ejemplo que ilustra la importancia del azar como mecanismo de selección de equilibrios.

3.2 La Evolución de los Derechos de Propiedad

Retomamos el Juego del Halcón y la Paloma. Y nos preguntamos, ¿es el equilibrio p^{∗} = v/c un resultado deseable? Claramente no. El beneficio promedio se maximiza cuando p = 0, cuando no hay ningún halcón. Por lo tanto el equilibrio de este juego es Pareto inferior a cualquier p < p^{∗} (notar de la figura 2.2 que los beneficios de ambos Halcones y Palomas son decrecientes en el número de Halcones, por lo que ambos están mejor con menos Halcones.)

Dad la pesadilla Hobbesiana de peleas y robos que implica el equilibrio el Juego de Halcones y Paloma no es de sorprender que haya sido utilizado para estudiar la aparición espontánea de convenciones sobre posesión y división de recursos valiosos.

El desperdicio que caracteriza al equilibrio de Halcones y Palomas se deriva de las pelea de los Halcones, y no de la explotación de las Palomas. Por lo tanto, una forma de mejorar este equilibrio es un mecanismo que disminuya el número de peleas en las interacciones. Una forma ideada por uno de los creadores del Juego, el biólogo John Maynard Smith es suponer que el premio es un sitio (un terreno) e intriducir una estrategia que está condicionada al status de propiedad del terreno. La estregia propuesta por John Maynard Smith es ”si dueño, jugar halcón, si intruso, jugar Paloma”. Él llamá a esta estrategia ”Burgues”. Asumimos que la posesión del terrenos nunca esta en cuestión y que ambos integrantes de la interacción tiene la misma chance de ser el propietario. Por ejemplo, cuando un Burges se enfrenta a un Halcón, la mitad de las veces él es el propietario y actúa como un Halcón (pelea) y la otra mitad el no es el propietario y actúa como una Paloma (no pelea). La probabilidad de ganar cuando pelea sigue siendo la probabilidad de ganar de un halcón contra otro Halcón: 1/2. Por lo tanto el beneficio esperado de un Burgues contra un Halcón es 1/2(v − c)/2 + 1/2 × 0 = (v − c)/4. Con cálculos similares escribimos toda la matriz de pagos del jugador fila del juego:

Halcón  Paloma  Burgues
Halcón (v − c)/2 v  v/2 + (v − c)/4
Paloma 0 v/2 v/4
Burgues (v − c)/4 v/2 + v/4 v/2

Utilizando el truco del elemento de la diagonal de la columna de Burgues (si el elemento de la diagonal de la columna es el mayor de la columan) vemos que Burgues es una EEE. Por lo tanto una población de Burgueses no puede ser invadida por Halcones o Palomas.

La posibilidad de que los derechos de propiedad pudieran haber emergido de esta forma, no elimina la posibilidad de que otra forma de propiedad y división pudieran haber surgido. Por ejemplo, una estrategia que podemos llamar Robin Hood sería: ”si propietario, actuar como Paloma, si intruso, actuar como Halcón”. Las propiedades evolutivas de esta estrategia son idénticas a las de la Burgues.

Un tema importante es que la posesión puede efectivamente estar en disputa. Supongamos que una fracción del tiempo μ ∈ [0, 1] el Burgues intruso equivocadamente cree que es propietario, mientras que en el caso de ue es propietario siempre juega halcon como antes. ¿Puede esta estrategia, que podríamos llamar Burgues Contestatario ser una EEE? Para contestar a esta pregunta debemos calcular los beneficios esperados de esta estrategia cuando se juega contra si misma para determinar si Burgues Contestatario puede ser una mejor respuesta a si misma (y por ende una EEE). Usando B(μ) para referirse a la estrategia del Burgues Contestatario,

π [B(μ), B(μ)] = 1/2 [(1 − μ)v + μ1/2(v − c)] + 1/2 [μ1/2(v − c)] = \frac{1}{2}(v − μc)

Con probabilidad un medio el individuo es propietario, juegando halcon, y se encuentra con un intruso que es Burgues Contestatrio y quien con probabilidad (1 − μ) ”correctamente” juega Paloma, pero que con probabilidad μ ”se equivoca” y juega Halcón, llevando el beneficio a el de una pelea entre Halcones. El segundo sumando del término de la derecha repite este conflicto con errores para el caso en que el individuo es un intruso.

Intuitivamente, el beneficio esperado del Burgues Contestatario es decreciente en el grado de contestabilida μ. Y reproduce el beneficio del cruce halcon-Halcon cunado μ = 1 y el de Burgues-Burgues cuando μ = 0 .

¿Podría un halcón invadir con éxito una población de Burgueses Contestatarios? El beneficio esperado de un halcón contra un Burgues Contestatario es

π [H, B(μ)] = 1/2(v − μc) + 1/4(1 − μ)(v − c)

: [πH, πBμ] = [\frac{3}{4}v − \frac{1}{4}μv − \frac{1}{4}μc − \frac{1}{4}c] :