Universidad de Montevideo Solución Parcial de Microeconomía II 2008 Marcelo Caffera

Ejercicio 1

Economía con FPP: 100X^{2} + Y^{2} = 5000. 100 individuos idénticos con función de utilidad de la forma: U_{i} = (XY_{i})^{1/2}, donde Y_{i} (es la proporción de cada individuo en la producción del bien privado Y): Y_{i} = Y/100.

a) Si el nivel de producción de ambos bienes se determinara de acuerdo con una asignación de recursos descentralizada (cada uno de los 100 individuos maximiza su función de utilidad), cada individuo tomaría una actitud de "free-rider", negándose a aportar para el financiamiento del bien público. En equilibrio, el bien público no se proveería y U_{i} = 0.

b) El nivel eficiente de produción de un bien público requiere ∑_{i=1}^{100} RMS_{i} =

RMT.

RMS_{i} = \frac{1/2(XY_{i})^{−1/2}.Y_{i}}{1/2(XY_{i})^{−1/2}.X} = \frac{Y_{i}}{X}

∑_{i=1}^{100} RMS_{i} = \frac{Y_{i}}{X} .100 = \frac{Y}{X}

Despejando Y de la F P P, derivando con respecto a X y haciendo algunas cuentas y sustituciones se llega a

RMT = \frac{200X}{2Y} = 100\frac{X}{Y}

Igualando ∑_{i=1}^{100} RMS_{i} = RMT se llega a:

\frac{Y}{X} = 100\frac{X}{Y}

de donde: Y^{2} = 100X^{2}, por lo que: Y = 10X. Sustituyendo en FPP: 100X^{2} + 100X^{2} = 5000, por lo que:

X = 5, Y = 50 e Y_{i}=\frac{1}{2}

U_{i}= (5.\frac{1}{2})^{1/2}=\sqrt{2.5} = 1. 581 1

c) En un equilibrio competitivo se debe cumplir

RMS_{i} = \frac{Y_{i}}{X} = \frac{t}{P_{Y}}

Si P_{y} = 1,

t = \frac{Y_{i}}{X} = \frac{0.5}{5} = \frac{1}{10}

Ejercicio 2 a)

IMe(x) = \frac{f(x)}{x} = 1000(10 − x)

IMg(x) = f ′(x) = 1000(10 − 2x)

b) Si las licencias se expiden gratuitamente seguirán entrando barcas hasta que los beneficios sean cero. Esto es,

\frac{f(x)}{x} − 2000 = 0

1000(10 − x) = 2000 x = 8

c) f ′(x) = 2000

1000(10 − 2x) = 2000

x = 4 d) Si las autoridades cobran un precio L por cada permiso, querrán que

\frac{f(4)}{4} = 6000 = 2000 + L

L = 4000

Ejercicio 3 a)

U(trigo) = \frac{1}{2} ln(28000) + \frac{1}{2} ln(10000) = 9, 7251

U(maíz) = \frac{1}{2} ln(19000) + \frac{1}{2} ln(15000) = 9, 7340

Por lo tanto, plantará maíz.

b) Con la mitad del campo en cada cultivo:

Y_{NLL} = \frac{28000 + 19000}{2} = \frac{47000}{2} = 23500

Y_{LL} = \frac{10000 + 15000}{2} = 12500

De donde:

U = \frac{1}{2} ln(23500) + \frac{1}{2} ln(12500) = 9, 7491

Por lo que le conviene tener una plantación mixta (diversificar).

c) Supongamos que planta un porcentaje α en trigo.

U = \frac{1}{2} ln[α(28000) + (1 − α)(19000)] + \frac{1}{2} ln[α(10000) + (1 − α)(15000)] =

= \frac{1}{2} ln(19000 + 9000α) + \frac{1}{2} ln(15000 − 5000α)

\frac{dU}{dα} = \frac{1}{2}.\frac{1}{19000 + 9000α}.9000 + \frac{1}{2}.\frac{1}{15000 − 5000α}.(−5000) =

\frac{4500}{19000 + 9000α} − \frac{2500}{15000 − 5000α} = 0

Es decir,

\frac{45}{190 + 90α} = \frac{25}{150 − 50α}

por lo que:

45(150 − 50α) = 25(190 + 90α)

De donde:

2000 = 4500α
α = 0.444

U = \frac{1}{2} ln(22996) + \frac{1}{2} ln(12780) = 9, 7494

Esto es una leve mejora respecto a 50-50.

d) Si el agricultor planta sólo trigo: Y_{NR} = 24000.(Los $ 28.000 de Y_{NR} inicial menos los $ 4.000 que cuesta el seguro) e Y_{R} = 14000.(Los $10.000 de Y_{R} inicial más los $ 8.000 que le paga el seguro porque llovió menos los $ 4.000 que cuesta el seguro)

U = \frac{1}{2} ln(24000) + \frac{1}{2} ln(14000) = 9, 8163

Por lo tanto, si este seguro estuviera disponible, provocaría que el agricultor no diversifique.