Soluciones Práctico 3

Ejercicio 24.1 (Nicholson)

a) P = $20 CMg = 0, 4q Establecemos P = CMg → 20 = 0, 4q → q = 50

b) CMgS = 0, 5q P = $20 Establecemos P = CMgS → 20 = 0, 5q → q = 40 El nivel socialmente óptimo de la producción de esta empresa es q = 40. A este nivel óptimo de producción, el costo marginal de producción es:

CMg = 0, 4q = 0, 4(40) = 16

por lo que el impuesto al consumo será: t = 20 − 16 = $4

c)

Ejercicio 24.2 (Nicholson)

a) Primero debemos determinar cuántos pescadores habrá en cada lago. Para ello tenemos que igualar el promedio de pesca en cada lago. En esta situación no habrá incentivos para irse de un lago a otro para nadie.

\frac{F^{X}}{L_{X}} = \frac{F^{Y}}{L_{Y}}

\frac{F^{X}}{L_{X}} = \frac{10L_{X} − \frac{1}{2}L_{X}^{2}}{L_{X}} = 10 − \frac{1}{2}L_{X}

\frac{F^{Y}}{L_{Y}} = \frac{5L_{Y}}{L_{Y}} = 5

de donde:

10 − \frac{1}{2}L_{X} = 5

5 = \frac{1}{2}L_{X}

L_{X} = 10

Como

L_{X} + L_{Y} = 20

→

L_{Y} = 10

Para hallar la pesca total simplemente sustituimos en las funciones de producción (de pesca):

F^{T} = F^{X} + F^{Y}

F^{X} = 10L_{X} − \frac{1}{2}L_{X}^{2} = 10 × 10 − \frac{1}{2} × (10)^{2} = 50

F^{Y} = 5L_{Y} = 5 × 10 = 50

Por lo que

F^{T} = 100

b) Como sabemos que L_{X} + L_{Y} = 20 podemos expresar L_{Y} = 20 − L_{X}. De esta forma, podemos expresar

F^{T} = F^{X} + F^{Y}

como

F^{T} = 10L_{X} − \frac{1}{2}L_{X}^{2} + 5 × (20 − L_{X})

La cuestión es entonces elegir el valor de L_{X} que maximiza

F^{T} = 5L_{X} − \frac{1}{2}L_{X}^{2} + 100

La condición necesaria y suficiente para este máximo es

\frac{dF^{T}}{dL_{X}} = 5 − L_{X} = 0

de donde

L_{X} = 5

En esta situación la pesca total es

F^{T} = 112, 5

c) En el caso a), cuando cada pescador pescaba en cualquier lago, teníamos L_{X} = 10, F^{X} = 50 y la pesca promedio era

\frac{F^{X}}{L_{X}} = \frac{50}{10} = 5

En el caso b), cuando se maximiza la pesca total (limitando la pesca en el lago X), teníamos L_{X} = 5, F^{X} = 10(5) − \frac{1}{2}(25) = 37, 5

y la pesca promedio es

\frac{F^{X}}{L_{X}} = \frac{37, 5}{5} = 7, 5

Por lo tanto, el costo de la licencia para pescar en el lagoX (en términos de pesca) debe ser 2, 5 pescados. De esta forma, la pesca media en el lago X, neta del costo del permiso, va a ser 5, igual que la pesca promedio en el lago Y. (Este razonamiento es suficiente porque la pesca media en el lago Y es constante e igual a 5. Si no fuera así debería igualar pescas medias en ambos lagos al igual que hicieron en el punto (a), pero agregando un costo por el permiso a los pescadores del lago X.). Los pescadores, actuando libremente, van a ir a pescar al lago X hasta que la pesca promedio menos el costo del permiso sea igual a la pesca que promedio que pueden obtener en el lago Y. Si el permiso surte efecto(se fiscaliza eficazmente) y van solo 5 pescadores al lago X, habrá 15 pescadores en el lago Y. Por lo tanto la pesca en el lago Y va a ser

F^{Y} = 5L_{Y} = 5 × 15 = 75

por lo que

F^{T} = 37, 5 + 75 = 112, 5

d) La llegada de un nuevo pescador al lago X impone una externalidad a los pescadores que ya están ahí (ya que se reduce la pesca promedio). El lago X en este ejercicio está tratado como propiedad común.

Si el lago fuese propiedad privada, su dueño elegiría L_{X} para maximizar la pesca total menos el costo de oportunidad de cada pescador (los 5 peces que el pescador puede pescar en el lago Y).

Entonces el problema es maximizar F^{X} − 5L_{X}, lo que lleva a que L_{X} = 5 (lo mismo que en el caso de la distribución óptima).

Ejercicio 24.7 (Nicholson)

a) Para hallar el nivel óptimo de control de mosquitos teniendo la curva de oferta (CMg), debemos hallar la curva de demanda total y encontrar el punto de corte entre ambas. La demanda total para el control de mosquitos se obtiene sumando las curvas de demanda verticalmente, ya que se trata de un bien público. Siendo Q la cantidad total de control de mosquitos (que se consume en partes iguales por los dos individuos), las valuaciones marginales individuales son:

para "a": P = 100 − Q

para "b": P = 200 − Q

Por lo tanto, lo que están dispuestos a pagar en total está dado por 300−2Q. Igualando esto al CMg (=120):

300 − 2Q = 120

→

Q = 90

b) En el mercado privado, el Precio se igualará al CMg = 120. A este precio a demandará 0 (ya que q_{a} = 100 − P = 100 − 120) y b

demandará 80 (ya que q_{b} = 200 − P = 200 − 120 = 80). Por lo tanto, la

producción será menos que el óptimo.

c) Con un costo marginal constante de 120, el costo total de producir la cantidad óptima (90) es 120 × 90 = 10800. Si el gobierno quiere cargar a cada consumidor con una proporción del costo de producción igual al beneficio, debe repartir el CMg (constante) de acuerdo a los beneficios marginales de cada uno. Los beneficios marginales de cada uno cuando Q = 90 se obtienen por la disposición a pagar de cada uno de los consumidores por 90 unidades de control de mosquitos. esta disposición a pagar no es más que la altura de la curva de demanda individual de cada uno. Como podemos calcular utilizando las curvas de demanda individuales que utilizamos en el punto (a), los beneficios marginales para a cuando Q = 90 son P^{a} = 100 − 90 = 10 y P^{b} = 200 − 90 = 110. Un impuesto de 10 para "a" y 110 para "b" hará que cada individuo demande Q = 90 y los impuestos recaudados cubrirán exactamente el costo por unidad de control de mosquitos.