Universidad de Montevideo

Microeconomía I Solucion Primer Parcial 2006 Prof.: Marcelo Caffera

EJERCICIO 1:

(a) El problema que resuelve el individuo es:

max_{(x,y)} U(x, y) = x^{α}y^{β}
sujeto a I = p_{x}x + p_{y}y

donde p_{x} y p_{y} son los precios de los bienes x e y respectivamente, e I es el ingreso del individuo en el período. El Lagrangeano de este problema es:

L = x^{α}y^{β} + λ (I − p_{x}x − p_{y}y)

Y las condiciones de primer orden:

(1)\frac{∂L}{∂x} = αx^{α−1}y^{β} − λp_{x} = 0
(2)\frac{∂L}{∂y} = βx^{α}y^{β−1} − λp_{y} = 0
(3)\frac{∂L}{∂λ} = I − p_{x}x − p_{y}y = 0

De (1) y (2) tenemos que:

\frac{αx^{α−1}y^{β}}{βx^{α}y^{β−1}} = \frac{λp_{x}}{λp_{y}}

O lo que es lo mismo:

\frac{αy}{βx} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

Despejando y en función de x obtenemos:

y = \frac{p_{x}}{p_{y}} \frac{β}{α}x  (1)

Sustituyendo esta expresión en (3) :

I − p_{x}x − p_{y} \frac{p_{x}}{p_{y}} \frac{β}{α}x = 0
I = p_{x}x(1 + \frac{β}{α})
I = p_{x}x(\frac{α + β}{α})
x^{∗} = d_{x} = \frac{αI}{p_{x}}

Sustituyendo en 1 obtenemos:

y^{∗} = d_{y} = \frac{βI}{p_{y}}

Q.E.D que el individuo asigna un porcentaje fijo (α y β respectivamente) de su renta a la adquisición de x e y. Si definimos las proporciones del gasto en ambos bienes respectivamente como

s_{x} = \frac{p_{x}x}{I} = α
s_{y} = \frac{p_{y}y}{I} = β

(b) Esta característica de la función de utilidad Cobb-Douglas no resulta un aspecto positivo de la misma ya que en la realidad los individuos cambian la proporción de su ingreso que destinan a cada bien ante variaciones en su ingreso. Por ejemplo, si el ingreso de este individuo se duplicara podríamos encontrar muchos ejemplos de bienes x e y para los cuales no se cumpliría que el individuo fuera a mantener fija la proporción del ingreso que gasta en x e y. Pensemos en x como un bien de lujo, o no tanto: servicios de jardinería. Es claro que la proporción del ingreso que destina a servicios de jardinería la gente en la realidad depende de su ingreso. Cuando el ingreso de los individuos no llega a determinado nivel ni siquiera demandan servicios de jardinería.

(c) Si el individuo tiene una función de utilidad ESC, resuelve:

max_{(x,y)} U(x, y) = x^{0,5} + y^{0,5}
sujeto a I = p_{x}x + p_{y}y

El Lagrangeano de este problema es ahora:

L = x^{0,5} + y^{0,5} + λ (I − p_{x}x − p_{y}y)

Y las condiciones de primer orden:

(1)\frac{∂L}{∂x} = 0, 5x^{−0,5} − λp_{x} = 0
(2)\frac{∂L}{∂y} = 0, 5y^{−0,5} − λp_{y} = 0
(3)\frac{∂L}{∂λ} = I − p_{x}x − p_{y}y = 0

De (1) y (2) tenemos que:

\frac{0, 5x^{−0,5}}{0, 5y^{−0,5}} = \frac{λp_{x}}{λp_{y}}

O lo que es lo mismo:

\begin{matrix}√ & \overline{y} \\ √ & \overline{x} \end{matrix} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

Despejando y en función de x obtenemos:

y = (\frac{p_{x}}{p_{y}} )^{2} x  (2)

Sustituyendo esta expresión en (3) :

I − p_{x}x − p_{y} (\frac{p_{x}}{p_{y}} )^{2} x = 0  (3)
I − p_{x}x − p_{x}x (\frac{p_{x}}{p_{y}} ) = 0
I = p_{x}x(1 + \frac{p_{x}}{p_{y}})
x^{∗} = d_{x} = \frac{I}{p_{x}(1 + \frac{p_{x}}{p_{y}})}  (4)

Sustituyendo en 3 obtenemos:

y^{∗} = d_{y} = (\frac{p_{x}}{p_{y}} )^{2} \frac{I}{p_{x}(1 + \frac{p_{x}}{p_{y}})}
= \frac{1}{p_{y}} \frac{I}{(1 + \frac{p_{y}}{p_{x}})}

Q.E.D que el individuo asigna un porcentaje de su renta a la adquisición de x e y que no es fijo sino que depende del cociente de precios. Demuestre que el problema se resuelve suponiendo que el individuo tiene una función de utilidad ESC de la forma

U(x, y) = x^{0,5} + y^{0,5}

(d) ¿Cómo afectan los cambios en el ingreso a las proporciones de gasto en las dos funciones de utilidad?

Ejercicio 2

Ian sólo bebe agua mineral, pero puede comprarla en envases distintos: botellas de 0,75 litros y botellas de 2 litros. Suponga que la utilidad de Ian sólo depende de los litros consumidos de agua, la calidad del agua es la misma en ambas botellas y que los envases no ofrecen ninguna utilidad en sí mismos.

(a) Muestre la función de utilidad de Ian en términos de cantidad de botellas de 0,75 litros (x) y cantidad de botellas de 2 litros (y).

(b) Muestre la función de demanda de Ian de x.

(c) Dibuje la curva de demanda de x.

(d) ¿Cómo desplazan los cambios en I y P_{y} a la curva de demanda de x?

(e) ¿Qué forma tiene la curva de demanda compensada de x?

Ejercicio 3

La demanda total del mercado de un bien cualquiera en un año determinado la conforman tres individuos: 1, 2, y 3.Las curvas de demanda de estos tres individuos son, respectivamente:

p = 50 − \frac{q_{1}}{2} , p = 40 − \frac{q_{2}}{4} , p = 30 − \frac{q_{3}}{5}

Derive (algebraicamente, es decir, sin dibujar) la curva de demanda del mercado.