4. LOS EFECTOS DE LAS VARIACIONES

DEL INGRESO O EL PRECIO DE UN BIEN

1 1. Las funciones de Demanda

Introducimos notación

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I)
.
.
.
x_{n}^{∗} = d_{n}(P_{1}, .., P_{n}, I)

Homogeneidad:

Es facil ver informalmente en el caso de 2 bienes que si multiplicamos ambos precios y el ingreso por un número positivo, las cantidades demandadas de x e y no van a variar porque la restricción no varía.

P xX + P yY = I

es lo mismo que

2P xX + 2P yY = 2I

Una función f(x_{1}, ..x_{n}) es homgénea de grado k si f(tx_{1}, .., tx_{n}) = t^{k}f(x_{1}, ..x_{n}). Las funciones de demanda son homogéneas de grado cero:

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I) = d_{1}(tP_{1}, .., tP_{n}, tI) para todo t > 0

Ejemplo: las funciones de demanda de la función de utilidad Cobb-Douglas:

x^{∗} = \frac{αI}{P_{x}}

y^{∗} = \frac{βI}{P_{y}}

2 Las Variaciones del Ingreso

Análisis gráfico de aumentos sucesivos en I.

Observar:

1) las RP son paralelas. El cociente de precios no cambia.

2) La RMS no puede cambiar

Con esta información construimos la Curva de Engel para un bien determinado, en este caso x en el eje (x, I)

Si x es un bien necesario los aumentos en la cantidad demandada de x serán sucesivamente menores en proporción a los aumentos de I.

Si x es un de lujo necesario los aumentos en la cantidad demandada de x serán sucesivamente menores en proporción a los aumentos de I.

2.1 Bienes Normales e Inferiores

Las variaciones de las cantidades demandadas de los bienes ante variaciones en el ingreso nos permite clasificar a los biene en normales o inferiores, necesarios o de lujo.

X_{i} es un bien normal en un intervalo del ingreso si:

\frac{δx_{i}^{∗}}{δI} ≥ 0

Si \frac{δx_{i}^{∗}}{δI} < 0 en ese intervalo, entonces x_{i} es un bien inferior.

Gráfico de aumentos sucesivos en el ingreso con un bien inferior.

2.2 Las Variaciones en el precio de un bien

Análisis gráfico de un descenso en el precio de P_{x}, el cual baja de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}

La canasta óptima pasa de (X^{∗}, Y^{∗}) a (X^{∗∗}, Y^{∗∗}). Pero este cambio total se puede descomponer en dos efectos:

a) el efecto sustitución: de A a B b) el efecto ingreso: de B a C

Análisis gráfico de un aumento en el precio de P_{x}, el cual sube de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}

El efecto de las variaciones en los precios en el caso de los bienes inferiores

El efecto-ingreso y el efecto-sustitución van en sentido contrario El efecto total es indeterminado. (Si el efecto total es positivo (baja P_{x}

y baja la cantidad demandad de X) estamos frente a un bien de Giffen).

2.3 La Curva de Demanda del Individuo

Se escriben, por comodidad, como x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}) en lugar de x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I). Se supone que P_{1}, .., P_{n}, I, permanecen constantes.

Análisis gráfico de la obtención de una curva de demanda d_{x}

En el eje (X, Y), a medida que baja P_{x} :

En el eje (P_{x}, X) :

2.4 Curva de Demanda Compensada

Análisis gráfico h_{x}

2.5 Relación entre las curvas de Demanda Compensada y no-compensada

Si el bien x es un bien normal, la h_{x} es más empinada porque incorpora sólo el efecto sustitución mientras que la no-compensada (d_{x}) incorpora el efecto sustitución + el efecto ingreso.

Análisis gráfico. Supongamos que partimos del punto (P_{x}^{0}, X^{0}), en donde se cruzan h_{x} y d_{x}. Este punto es ...I = E^{∗}.

Cuando P_{x} aumenta la disminución en la cantidad demandada de x es menor por h_{x} que por d_{x} porque en el caso de h_{x} el individuo es compensado por su pérdida de poder adquisitivo de tal forma que se mantiene en la misma curva de indiferencia.

Cuando P_{x} baja sucede lo contrario. El aumento en la cantidad demandada de x es mayor por d_{x} ya que en el caso de h_{x} el individuo es ”castigado” (le ”sacan plata”) para impedir que alcance una curva de indiferencia más alta.

2.6 Ejemplo: Demandas compensadas de U(X, Y) =

\sqrt{XY}

Las funciones de demanda marshallianas en este ejemplo eran

x^{∗} = \frac{I}{2P_{x}}

y^{∗} = \frac{I}{2P_{y}}

Para obtener las funciones de demanda compensadas basta con despejar I de V (P_{X}, P_{Y} , I) y sustituirlo en estas funciones.

V (P_{X}, P_{Y} , I) = \frac{I}{2\sqrt{P_{X}P_{Y}}}

V 2\sqrt{P_{X}P_{Y}} = I

h_{x} = \frac{V 2\sqrt{P_{X} ∗ P_{Y}}}{2P_{x}} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

h_{y} = \frac{V 2\sqrt{P_{X} ∗ P_{Y}}}{2P_{Y}} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{X}} \\ √ & \overline{P_{Y}} \end{matrix}

Utilizando ambas demandas podemos ver que cuando P_{X} = 0, 25, P_{Y} = 1, I = 2, V = 2, ambas dan los mismo resultados (X = 4, Y = 1)

Pero, por ejemplo, cuando P_{X} sube a P_{X} = 1

d_{x} = 1
h_{x} = 2

La cantidad demandada de x cae menos segun h_{x} que d_{x} porque h_{x} no incluye el efecto ingreso (negativo en este caso).

3 Análisis Matemático de las Variaciones en los Precios

Hasta ahora lo vimos básicamente con gráficos.

Queremos analizar \frac{δx}{δP_{X}} Enfoque directo: \frac{δd_{x}}{δP_{X}} . Fácil y poco interesante.

Enfoque indirecto Dos bienes X e Y. Queremos ilustrar la relación entre h_{x} y d_{x}. Por definición

h_{x}(P_{X}, P_{Y} , U) = d_{X}(P_{X}, P_{Y} , E(P_{X}, P_{Y} , U))

Dierenciando parcialmente con respecto a P_{X}

\frac{δh_{x}}{δP_{X}} = \frac{δd_{X}}{δP_{X}} + \frac{δd_{X}}{δE} ∗ \frac{δE}{δP_{X}}

Re-ordenando los términos:

\frac{δd_{X}}{δP_{X}} = \frac{δh_{x}}{δP_{X}} − \frac{δd_{X}}{δE} ∗ \frac{δE}{δP_{X}}

Donde:

\frac{δh_{x}}{δP_{X}} es la pendiente de la h_{x} (efecto sustitución)

\frac{δd_{X}}{δE} ∗ \frac{δE}{δP_{X}} es la variación en la cantidad demandada de x ante un cambio en su precio a través del cambio en el gasto (efecto ingreso). Cuando aumenta P_{X} el gasto necesario para mantenerse en la misma curva de indiferencia (la misma U) tiene que aumentar. Por lo tanto \frac{δE}{δP_{X}} > 0. Sabemos que \frac{δd_{X}}{δE} > 0. Pero como cuando aumenta P_{X} el efecto ingreso es negativo \frac{δd_{X}}{δE} ∗ \frac{δE}{δP_{X}} va precedido por un signo de −.

4 La Ecuación de Slutsky

Introducimos primero algunos cambios en la notación:

(1) Efecto sustitución: \frac{δh_{x}}{δP_{X}} = \frac{δX}{δP_{X}} _{U constante}

(2) Efecto ingreso: −\frac{δd_{X}}{δE} ∗ \frac{δE}{δP_{X}} = −\frac{δX}{δI} ∗ \frac{δE}{δP_{X}} , ya que las variaciones del ingreso o de los gastos son equivalentes en d_{x}.

(3) Aplicando el teorema del envolvente en el problema de minimización de gasto, se puede demostrar que

\frac{δE}{δP_{X}} = X

Demostración: Por el teorema del envolvente....

Por lo que si el problema es minimizar E = P_{X} ∗ X + P_{Y} ∗ Y sujeto a \overline{U} = U(X, Y), y L = P_{X} ∗ X + P_{Y} ∗ Y +λ(\overline{U} − U(X, Y)), el teorema del envolvente nos dice que

\frac{δE}{δP_{X}} = \frac{δL}{δP_{X}} = X

Intuición: Cuando P_{X} sube $1, el gasto mínimo necesario para alcanzar \overline{U} sube $X (= $1 ∗ X).

Combinando (1), (2) y (3)

\frac{δd_{x}}{δP_{x}} = \frac{δX}{δP_{X}} _{U constante} − X ∗ \frac{δX}{δI}

Ecuación de Slutsky

Que dice que el cambio en la cantidad demandad de X ante un cambio en su precio es igual al efecto sustitución menos el efecto renta.

\frac{δh_{x}}{δP_{X}} < 0 Efecto sustitución. Negativo si RMS decreciente

\frac{δX}{δI} > 0 si X es un bien normal. Por lo que −\frac{δX}{δI} ∗ X < 0 si X es un bien normal.

En el caso de un bien normal, el efecto sustitución y el efecto ingreso actúan en el mismo sentido para generar una d_{x} con pendiente negativa

4.1 Ejemplo con las funciones de demanda de U(X, Y) =

\sqrt{XY}
d_{x} = \frac{I}{2P_{x}}
h_{x} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

\frac{δd_{x}}{δP_{x}} = −\frac{2I}{4P x^{2}} = −\frac{I}{2P x^{2}} Esto tiene que ser igual a \frac{δh_{x}}{δP_{x}} = −V ^{\frac{\sqrt{P_{y}}∗1/2∗P_{x}^{−1/2}}{P_{x}}} = −\frac{V}{2} \frac{\sqrt{P_{y}}}{P_{x}^{3/2}} Para eliminar V utilizamos la función de utilidad indirecta V (P_{X}, P_{Y} , I) =

\frac{I}{2\sqrt{P_{X}P_{Y}}}

\frac{δh_{x}}{δP_{x}} = −^{\frac{\frac{I}{2\sqrt{P_{X} P_{Y}}}}{2}} \frac{\sqrt{P_{y}}}{P_{x}^{3/2}} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}} La segunad parte de la ecuación de Slutsky viene dada por: −X ∗ \frac{δX}{δI} = −\frac{I}{2P_{x}} \frac{1}{2P_{x}} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}} Combinando los dos últimos resultados:

\frac{δd_{x}}{δP_{x}} = \frac{δX}{δP_{X}} _{U constante} − X ∗ \frac{δX}{δI} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}} − \frac{I}{4P_{x}^{2}} = −\frac{I}{2P x^{2}}

5 El Excedente del Consumidor

¿Cómo varía el binestar del consumidor cuándo varía P?

E(P_{X}, P_{Y} , U^{0})

Gastos necesarios para alcanzar U^{0} con P_{x}^{0} : E_{0} = E(P_{X}^{0}, P_{Y} , U^{0})

Gastos necesarios para alcanzar U^{0} con P_{x}^{1} : E_{1} = E(P_{X}^{1}, P_{Y} , U^{0})

Variación del bienestar: E_{0}− E_{1}

Cuando P_{x} sube de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}, E_{0}− E_{1} < 0 - pérdida

Cuando P_{x} baja de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}, E_{0}− E_{1} > 0 - ganancia

Conociendo la función de gastos es suficiente. Pero podemos también calcular la variación del bienestar de otra forma;

utilizando las curvas de demanda.

Por el teorema del envolvente

\frac{δE(P_{X}, P_{Y} , U^{0})}{δP_{x}} = h_{x}(P_{X}, P_{Y} , U^{0})

este resultado ya se vio antes y es cierto ”en el margen”. Pero para evaluar las variaciones en los gastos necesarios correspondiente

a una variación ”no marginal” o ”grande” en los precios debemos integrar la ecuación anterior.

5.1 Las variaciones en el bienestar y la curva de demanda marshalliana

El individuo en realidad pierde poder adquisitivo cuando sube P_{x} y por lo tanto se ubica en una CI menor.

5.1.1 Ejemplo

h_{x} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

Calculamos la pérdida de bienestar de un aumento de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}

Cuando P_{x}^{1} = 1, V = 1. Si tomamos V = 1 como el nivel ”adecuado” de utilidad, Si utlizamos d_{x},

Ejemplo:

6 La preferencia revelada y el efecto sustitución

Samuelson (1947) demostró que el efecto sustitución es negativo sin necesidad de suponer que existe una U(.) que no se puede observar, lo cual era criticado.

Samuelson denominó a esta demostración Teorema de la Preferencia Revelada.

Define un pincipio de racionalidad que se basa en la conducta observada y lo utiliza para deducir una función de utilidad del individuo. Una persona que siga el principio de racionalidad de Samuelson se comporta como si maximizara realmente una U(.) y muestra un efecto sustitución negativo.

Figura 5.10 del Nicholson aquí.

Si con I_{2} el individuo compra la canasta A en lugar de la canasta B es porque prefiere A a B. Si con otra combinación de precios e impuestos comprara B es porque no puede alcanzar A. Con I_{1} elige B porque no llega a A. Nunca puede preferir B a A con tros precios e impuestos. Con I_{3} tampoco elegirá A sino otra canasta como C.

Observar que este enforque utiliza las reacciones observables frente diferentes restricciones presupuestales en lugar de suponer que existe una función de utilidad.

6.1 Enfoque matemático

Demostramos que el efecto sustitución es negativo o cero.

Supongamos ue un individuop es indiferente entre dos cestas: la C, que está compuesta por (X_{c}, Y_{c}) y la D, que esta compuesta por (X_{D}, Y_{D}). Sean P_{X}^{C} y P_{Y}^{C} los precios a los que se elige la canasta C y P_{X}^{D} y P_{Y}^{D} los precios a los que se elige la canasta D.

Dado que el individuo es indiferente entre C y D, deber ser que si elige la canasta C ésta cuesta al menos tanto como la D (Si D costara menos hubiera elegido D)^{1} :

P_{X}^{C}X_{c} + P_{Y}^{C}Y_{c} ≤ P_{X}^{C}X_{D} + P_{Y}^{C}Y_{D}

Cuando elige D debe cumplirse algo similar:

P_{X}^{D}X_{D} + P_{Y}^{D}Y_{D} ≤ P_{X}^{D}X_{c} + P_{Y}^{D}Y_{c}

Reordenando ambas ecuaciones obtenemos:

P_{X}^{C}(X_{C} − X_{D}) + P_{Y}^{C}(Y_{C} − Y_{D}) ≤ 0
P_{X}^{D}(X_{D} − X_{C}) + P_{Y}^{D}(Y_{D} − Y_{C}) ≤ 0

Si las sumamos obtenemos

(P_{X}^{C} − P_{X}^{D})(X_{C} − X_{D}) + (P_{Y}^{C} − P_{Y}^{D})(Y_{C} − Y_{D}) ≤ 0

Supongamos que sólo varía el P_{x} y que P_{Y}^{C} = P_{Y}^{D}

(P_{X}^{C} − P_{X}^{D})(X_{C} − X_{D}) ≤ 0

Esta desigualdad dice precisamente que los precios y las cantidades demandadas varían en sentido contrario. Recordando que partimos del supuesto de que el individuo era indiferente entre C y D, ésta no otra cosa que una versión en términos de desigualdad de

\frac{δX}{δP_{X}} _{U constante} ≤ 0

6.2 Generalización ( n bienes)

Si a los precios P_{i}^{0} se elige la cesta X_{i}^{0} y la cesta X_{i}^{1} es también asequible, entonces

∑_{i} P_{i}^{0}X_{i}^{0} ≥ ∑_{i} P_{i}^{0}X_{i}^{1}

es decir, se ha revelado que se puede consumir la cesta 1 pero se prefiere la cesta 0.

1La demostración (que se basa en Samuelson) no es del todo correcta porque la teoría de la preferencia revelada no contiene una definición de indiferencia.

Por consiguiente, cuando se compra la cesta 1 a los precios P_{i}^{1} debe suceder que la cesta 0 no es asequible

∑_{i} P_{i}^{1}X_{i}^{0} > ∑_{i} P_{i}^{1}X_{i}^{1}

esta versión introductoria de la preferencia revelada centra la atención en dos canastas. En el caso de más de dos canastas requiere un grado de transitividad de las preferencias entre un número arbitrariamente grnade de canastas.

Esto se resume en el

Axiom 1 Axioma fuerte de la preferencia revelada: si se revela que se prefiere la canasta 0 a la 1, la 1 a la 2, ... y la K − 1 a la K, entonces no puede revelarse que se prefiere la K a la 0 (donde K es un número arbitrario de canastas de bienes)

Casi todas las demás propiedades que se han desarrollado utilizando el enfoque de una función de utilidad puede utilizarse con el enfoque de la preferencia revelada.

Práctico N^{o}4: 5.4, 5.6, 5.7, 5.8.