ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA OPTIMIZACIÓN

1 La Maximización de un Función de Una vari-

able

1.1 La derivada en un punto

Los beneficios de una empresa dependen de la cantidad vendida de acuerdo a la función π = f(q).

La tasa de cambio de π ante un cambio en q es, en un punto cualquiera q_{0}

\frac{Δπ}{Δq} = \frac{f(q_{0} + Δq) − f(q_{0})}{Δq}

La derivada de la función de beneficios en el punto q_{0} se define como

\frac{dπ}{dq} = \frac{df}{dq} = f′(q)_{q=q_{0}} = lim_{Δq→0} \frac{f(q_{0} + Δq) − f(q_{0})}{Δq}

¿Pero cómo? ¿No tiende cero el numerador?

Un ejemplo:

π = f(q) = q^{2}

(los negocios no son tán fáciles)

\frac{Δπ}{Δq} = \frac{f(q + Δq) − f(q)}{Δq} = \frac{(q + Δq)^{2} − q^{2}}{Δq} = \frac{q^{2} + 2qΔq + Δq^{2} − q^{2}}{Δq} = 2q +Δq

Por lo tanto,

\frac{dπ}{dq} = lim_{Δq→0} \frac{f(q_{0} + Δq) − f(q_{0})}{Δq} = 2q

La pendiente de esta parábola es dos veces el valor de q en cada q.

1.2 Condición de primer orden para alcanzar un máximo

Necesaria pero no suficiente

1.3 Condiciones de segundo orden

La derivada segunda q^{∗} debe ser negativa

1.4 Reglas de las derivadas

Ejemplo: La maximización de beneficios

2 Función de Varias Variables

2.1 Derivadas parciales

Supuesto ceteris paribus. Ejemplo: Ley de la Demanda

2.1.1 Cálculo de Derivadas Parciales

2.2 Derivadas Parciales de Segundo Orden

2.3 El Teorema de Young

2.4 La Maximización de Funciones de Varias Variables

Primero introducimos el diferencial total de una función de una variable.

2.4.1 Diferrencial total

2.4.2 Condición de primer orden para alcanzar un máximo local

Análisis formal con un función de dos variables.

dy = f_{1}dx_{1} + f_{2}dx_{2}

El diferencial total de esta función viene dado por

d^{2}y = (f_{11}dx_{1} + f_{12}dx_{2})dx_{1} + (f_{21}dx_{1} + f_{22}dx_{2})dx_{2}
d^{2}y = f_{11}d^{2}x_{1} + f_{12}dx_{2}dx_{1} + f_{21}dx_{1}dx_{2} + f_{22}d^{2}x_{2}

Por el Teorema de Young:

d^{2}y = f_{11}dx_{1}^{2} + 2f_{12}dx_{1}dx_{2} + f_{22}dx_{2}^{2}

Nosotros queremos que esta expresión sea negativa para cualquier variación de las x (para cualquier dx_{1} y dx_{2}.

Primero vemos ue f_{11} y f_{22} deben ser negativas. Porque si por ejemplo tenemos que dx_{2} = 0,

d^{2}y = f_{11}dx_{1}^{2}

y d^{2}y < 0, implica

f_{11} < 0

idem para f_{22}.

Ahora, si ni dx_{1} no dx_{2} son cero, necesitamos saber algo de f_{12}.

Para empezar, empezamos por ver que d^{2}y = f_{11}dx_{1}^{2}+2f_{12}dx_{1}dx_{2}+f_{22}dx_{2}^{2} es una forma cuadrática en dx_{1} y dx_{2}. Una forma es un polinomio, de varias variables en este caso, donde la suma de los exponentes de cada término (supuestos positivos y enteros) es la misma. Por ejemplo, 4x − 9y + z es una forma lineal porque todos los exponentes de las variables son 1. En cambio, el polinomio 4x^{2} − xy + 3y^{2} es una forma cuadrática (todos los exponentes suman 2).

Un criterio ampliamente usado para la definición del signo de una forma cuadrática es el estudio del signo del determinante.

Para verlo escribimos d^{2}y = f_{11}dx_{1}^{2} + 2f_{12}dx_{1}dx_{2} + f_{22}dx_{2}^{2} como

q = au^{2} + 2huv + bv^{2}

Si sumamos y restamos \frac{h^{2}v^{2}}{a}

q = au^{2} + 2huv + \frac{h^{2}v^{2}}{a} + bv^{2} − \frac{h^{2}v^{2}}{a}

q = a(u^{2} + \frac{2huv}{a} + \frac{h^{2}v^{2}}{a^{2}} ) + (b − \frac{h^{2}}{a})v^{2}

q = a(u + \frac{hv}{a})^{2} + (\frac{ab − h^{2}}{a})v^{2}

Vemos ahora que

qes \{ \begin{matrix}definida positiva \\ definida negativa \end{matrix} \} si \{ \begin{matrix}a > 0 \\ a < 0 \end{matrix} \} y ab − h^{2} > 0

En términos de nuestra forma cuadrática esto equivale

d^{2}y es \{ \begin{matrix}definida positiva \\ definida negativa \end{matrix} \} si \{ \begin{matrix}f_{11} > 0 \\ f_{11} < 0 \end{matrix} \} y f_{11}f_{22} − f_{12}^{2} > 0

Lo del signo del determinante sale de que la q se puede expresar como

q = [ u v ] [ \begin{matrix}a & h \\ h & b \end{matrix} ] [ \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ]

y la condición ab − h^{2} > 0 no es otra cosa que | \begin{matrix}a & h \\ h & b \end{matrix} | > 0

Sin embargo, luego de molestarnos por saber de dónde sale esta condición, les digo que por lo general en este curso vamos a trabajar con funciones que cumplen esta condición suficiente de segundo orden.

2.4.3 Ejemplo: Como hallar un máximo

2.5 Funciones Implícitas

Como calcular derivadas directamete de una función implícita 2.5.1 Ejemplo: Frontera de posibilidades de producción

2.5.2 Teorema de la función implícita

2.6 Teorema de la Envolvente

Un ejemplo específico

2.6.1 Camino más largo

2.6.2 El atajo

2.6.3 El caso de n variables

2.7 Maximización sujeta a restricciones

2.7.1 Método del Multiplicador de Lagrange

Inteligente truco matemático y útil interpretación economica. El truco es agregar una variable (λ ) para que las condiciones de primer orden del problema queden como un sistema de n + 1 ecuaciones y n + 1 incógnitas. Si no on la restricción queda de n + 1 ecuaciones y n incógnitas (las x).

El problema formal

Condiciones de primer orden

Truco: observar que si la restricción se cumple maximizar £ es lo mismo que maximizar f.

Condiciones de primer orden

Condiciones de segundo orden (no darlas)

Si f es cuasi-concava => si f es cóncava las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes.

Interpretación del multiplicador de Lagrange

El multiplicador de Lagrange como una relación costo-beneficio

El multiplicador de Lagrange como un precio sombra. Presento el problema de maximización para explicarlo.

2.8 Dualidad

max utilidad-min costo max producción sujeto a costo - min costo sujeto a nivel de producción

2.9 Ejemplo:

U(x, y) = xy, M = 40, P x = 4, P y = 2

2.10 El Teorema de la Envolvente en los problemas de

maximización sujeto a restricciones

En este caso también se cumple

\frac{δy^{∗}}{δa} = \frac{δ£}{δa}(x_{1}^{∗}, ..., x_{n}^{∗}; a)

References

[1] Chiang

[2] Nicholson

[3] Sielbergberg