3.LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD

1 El caso de 2 bienes: análisis gráfico

Restricción:

P xX + P yY = I

Gráficamente:

Y = I/P y − P x/P y ∗ Y

−P x/P y : pendiente de la RP. Muestra tasa de cambio de un bien por otro en el mercado.

Condiciones de primer orden:

−P x/P y = −\frac{dY}{dX}_{U=U^{∗}} = RMS de Y por X

Condiciones de segundo orden para alcanzar un máximo: ¿Por qué −P x/P y = RMS no es una condición suficiente? Gráfico: Las CI son convexas⇔ la RMS es decreciente⇔ U cuasi-cóncava La condición de tangencia es necesaria y suficiente. Soluciones de esquina: Gráfico:

Será necesario modificar nuestras condiciones de primer orden. Lo vemos para el caso de n bienes.

2 El caso de n bienes

El problema es:

El Lagrange es:

Las condiciones de primer orden son:

Suponiendo cuasiconcavidad estricata de la U estas condiciones son necesarias y suficientes.

Para cualquier x_{i}, x_{j} > 0, de las CPO sale que RMS tiene que ser igual al cociente de precios.

3 interpretación del Multiplicador de lagrange

Como cociente entre las UM y los precios de cada bien: la utilidad marginal por peso gastado es la misma.

Como tilidad marginal del ingreso.

4 Ejemplo: maximización de utilidad de una

Cobb-Douglas 5 Funciones de Demanda de una Cobb-Douglas

U(X, Y) = X^{α}Y^{β}

6 Función de utilidad Indirecta

En el caso de n bienes

6.1 En el ejemplo anterior

Si volvemos a los datos del problema anterior vemos que se puede calcular el valor máximo de la utilidad directamente (o indirectamente mejor dicho) con ellos.

El valor de V = 2 hallado es el mismo valor de U^{∗} = 2, el mismo valor que habíamos hallado.

7 Dual del problema de maximización de utilidad

Planteamiento gráfico

7.1 Formulación Matemática

Min E sujeto a U = U^{0} Obtenemos las funciones de demanda compensada

X_{1}^{∗}(P_{1}, ..., P_{n}, U)

Y con ellas la función de gasto E(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, U).

7.2 Ejemplo

Obtenemos la función de gasto para la función de utilidad del problema anterior: U = X^{1/2}Y^{1/2}.

Notar:

1) Cuando sustituimos por los datos del problema anterio E = 2 que es el valor de I

2) La función de gastos que obtuvimos es la inversa de la función de utilidad indirecta.

8 Ejercicios de deberes

4.1, 4.4, 4.5, 4.6, 4.10

References

[1] Nicholson, Walter, ”Teoría Microeconómica”, McGraw-Hill.