LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN

1 Función de Producción

Se escribe:

Representa la ”receta”: La cantidad máxima de un producto q que se puede obtener con distintas cantidades de los insumos que son necesarios para su producción.

Implicitamente indica que hay muchas maneras de obtener la misma cantidad del producto final: con mucho L y menos K o al revés

¿Cómo elige la empresa su q objetivo y la cantidad de K, L y el resto de los insumos?

1.1 Variaciones de un factor

Supuesto: Dos insumos: K y L Producto marginal de un factor: Es ...

Producto marginal del capital: P M_{K} = \frac{δq}{δK} = \frac{δf}{δK} = f_{K}

Producto marginal del trabajo:

Productividad marginal decreciente: Es un supuesto. Bastante intuitivo.

\frac{δP M_{K}}{δK} = \frac{δ^{2}q}{δK^{2}} = \frac{δ^{2}f}{δK^{2}} = f_{KK} < 0 Lo mismo para L

Producto medio: P Me_{L} = \frac{q}{L} = \frac{f(K,L)}{L}

1.2 Ejemplo de una función de producción de 2 factores

q = f(K, L) = 600K^{2}L^{2} − K^{3}L^{3}

¿P M_{L} y P Me_{L}? Debemos fijar K = 10

q = f(K = 10, L)
= 600 ∗ 10^{2} ∗ L^{2} − 10^{3} ∗ L^{3}
= 60000L^{2} − 1000L^{3}

P M_{L} : Cuando K = 10, P M_{L} alcanza el máximo cuando...

P Me_{L} = Cuando K = 10, P Me_{L} alcanza el máximo cuando... Cuando P Me_{L} alcanza el máximo, P M_{L} = P Me_{L} Demostración:

\frac{δP Me_{L}}{δL} = \frac{δ (\frac{f(K,L)}{L})}{δL} = \frac{f_{L}L − f(K, L)}{L^{2}} = 0 ⇔ f_{L}L = f(K, L)
⇒ f_{L} = P M_{L} = \frac{f(K, L)}{L} = P Me_{L}

2 Los mapas de iso-cuantas y la Relación de Sustitución Técnica

Isocuanta: Es...

f(K, L) = q_{0}

Mapa de iso-cuantas: misma idea que mapa de curvas de indiferencia pero son mensurables.

2.1 Relación Marginal de Sustitución Técnica

RST (K por L) = −\frac{dK}{dL}_{q=q_{0}}

2.1.1 La RST como cociente de las productividades marginales

q = f(K, L)
dq = f_{K}dK + f_{L}dL

A lo largo de una isocuanta dq = 0

0 = f_{K}dK + f_{L}dL
−f_{K}dK = f_{L}dL
−\frac{dK}{dL} = \frac{f_{L}}{f_{K}}

RST (K por L) = −\frac{dK}{dL}_{q=q_{0}} = \frac{f_{L}}{f_{K}} = \frac{P M_{L}}{P M_{K}}

Las isocuantas pueden tener pendientes positivas ( P M_{L} o P M_{K} pueden ser negativas) pero ninguna empresa operará en estos segmentos (nadie contratará K o L si hacerlo le disminuye q). Por lo tanto siempre serán positivas y por lo tanto RST < 0.

2.1.2 ¿Qué implica que la RST sea decreciente?

Las isocuantas del gráfico no sólo tienen pendiente negativa ( RST<0) sino que además son convexas (RST es decreciente). ¿Que implica esto para f(K, L)?

RST decreciente significa

\frac{dRST}{dL} < 0 => ^{\frac{d( \frac{f_{L}}{f_{K}} )}{dL}} < 0

\frac{d( \frac{f_{L}(K,L)}{f_{K} (K,L)} )}{dL} = \frac{(f_{LL}+f_{LK} \frac{dK}{dL})f_{K}−f_{L}(f_{KL}+f_{KK} \frac{dK}{dL})}{f_{K}^{2}}

Valiéndonos de que −\frac{dK}{dL} = \frac{f_{L}}{f_{K}} a lo largo de la isocuanta y de que f_{KL} = f_{LK}

\frac{(f_{LL} + f_{LK} (−\frac{f_{L}}{f_{K}} ))f_{K} − f_{L}(f_{LK} + f_{KK} (−\frac{f_{L}}{f_{K}} ))}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL}f_{K} − f_{LK}f_{L} − f_{L}f_{LK} + f_{KK} (\frac{f_{L}^{2}}{f_{K}} )}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL}f_{K} − 2f_{L}f_{LK} + f_{KK} (\frac{f_{L}^{2}}{f_{K}} )}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL}f_{K} − 2f_{L}f_{LK} + f_{KK} (f_{L})^{2}}{(f_{K})^{3}}

Puesto que f_{K} > 0 el denominador de esta expresión es positivo. Supusimos que f_{LL} y f_{KK} son negativas, lo que necesitamos para que todo el cociente sea negativo es que f_{LK} sea positiva. Si podemos suponer que estos es así tendremos que \frac{dRST}{dL} < 0 (la RST es decreciente y las isocuantas son convexas). Como vimos en la introducción matemática las funciones para las cuales el numerador de este cociente es negativo se llaman funciones (estrictamente) cuasi-cóncavas. En conclusión, si queremos que la RST sea decreciente, tenemos que suponer que la función de producción es cuasi-cóncava.

Aunque suponer f_{LK} = f_{KL} > 0 es intuitivo, no tiene que ser necesariamente el caso. Por lo que si no estamos dispuestos a hacer este supuesto, lo que estaremos suponiendo si o si es que las productividades marginales decrecen lo suficientemente rápido (f_{LL} y f_{KK} son tan negativas) que compensan cualquier efecto posible de un f_{LK} = f_{KL} negativo.

2.1.3 Ejemplo 11.2 del libro

3 Los Rendimientos a Escala

3.1 Los Rendimientos a Escala y la RST

3.2 La Elasticidad de Sustitución

4 Algunas funciones de producción

Dos factores. Fácil generalización.

4.1 Función lineal (σ = ∞)

Es fácil demostrar que tiene rendimientos constantes a escala para todo m > 0.

Todas las isocuantas de esta función son líneas rectas con pendiente −b/a.

La RST no cambia a lo largo de la isocuanta. Elasticidad de sustitución infinita.

K y L son sustitutos perfectos.

Ejemplo:

4.2 Proporciones fijas (σ = 0)

Isocuantas en forma de L K/L fijo => σ = 0

q = min(aK, bL)

a, b > 0

4.3 Cobb-Douglas (σ = 1)

q = AK^{a}L^{b}
A, a, b > 0

Los rendimientos a escala dependen del valor de a + b

Tiene elasticidad de sustitución = 1

Se puede estimar en logaritmos

e_{q,K} = a e_{q,L} = b

4.4 ESC (CES)

ρ ≤ 1, ρ ≠ 0 y ϵ > 0. os rendimientos a escala dependen del valor de ϵ. Si ϵ > 1 los rendimientos son crecientes a escala y para ϵ < 1 los rendimientos son decrecientes a escala.

σ = \frac{1}{1 − ρ}

El resto de las funciones de producción vistas son casos particulares de la función ESC

Cuando ρ = 1 => Caso lineal Cuando ρ = −∞ => Proporciones fijas (requiere un argumento basado en

límites)

Cuando ρ = 0 => Cobb-Douglas (requiere un argumento basado en límites) La función ESC se se utiliza a veces con una ponderación β (0 ≤ β ≤ 1)

para indicar la importancia relativa de los factores.

Práctico 11.1, 11.2, y 11.4

References

[1] Nicholson, W. (2004) ”Teoría Microeconómica. Pricnicpios Básicos y Aplicaciones” 8^{a} edición. Thomson.