LOS COSTOS DE PRODUCCIÓN

Marcelo Caffera 28/09/05

1 Definiciones de costos

Cuando hablamos de costo hablamos de costo de oportunidad.

Costos laborales (w) : salario por hora. Se supone que es su costo de oportunidad.

Costos de capital (v) : costo de los servicios del capital (uso de las máquinas) por hora. Diferente al costo contable. Precio al que podría alquilar esa máquina para su segundo mejor uso.

Costos de los servicios empresariales: costo de oportunidad de su tiempo. Supuestos: Sólo hay 2 factores K y L. Los costos de oportunidad del empresario están comprendidos en los cos-

tos del capital.

Beneficios económicos:

π = p ∗ f(K, L) − wL − vK

Maximizando esta función respecto a K y L obtenemos las funciones de demanda de K y L.

Pero en lugar de hacer ello vamos a empezar por otro problema, el de minimización de los costos, lo cual nos permitirá desarrollar una teoría sobre los costos.

2 El problema de minimización de los costos

min_{K,L} wL + vK  (1)
s.a.f(K, L) = q_{0}

Lagrange:

Conidiciones de primer orden:

De 1) y 2):

\frac{w}{v} = \frac{f_{L}}{f_{K}} = RST_{KporL} = −\frac{dK}{dL}

Intuición sobre la solución: RST = \frac{w}{v} Otro resultado que sale de las CPO:

λ = \frac{w}{f_{L}} = \frac{v}{f_{K}} o \frac{1}{λ} = \frac{f_{L}}{w} = \frac{f_{K}}{v}

λ es igual al costo marginal de q. 1/λ es igual al producto marginal de último peso gastado.

Análisis gráfico:

3 El problema dual: maximización de la producción

max_{K,L} f(K, L)  (2)
s.a. CT_{0} = wL + vK

es fácil demostrar que (K^{∗}, L^{∗}) y las CPO serán las mismas que en el problema anterior

4 La senda de expansión de la empresa

Resolvemos el problema de minimización de costos ”sucesivamente” para niveles de q cada vez más altos suponiendo que w y v no cambian

Grafico Sólo será una recta si f es homotética <=> RST depende únicamente

de K/L.

Tampoco tiene por qué tener pendiente positiva en todos sus tramos. Un factor puede transformarse en ”inferior” a partir de cierto q.

Grafico Ejemplo: cuánto más grande el pozo que queremos hacer menos palas

utilizaremos y más máquinas.

5 Ejemplo: minimización de costos con una función de producci ón Cobb-Douglas

q = K^{0.5}L^{0.5} = 80 . . .

RST = K/L = w/v

La función de producción Cobb-Douglas tiene rendimientos constantes a escala por lo tanto tendrá una senda de expansión recta, como lo dice la RST, que sólo depende de K/L.

Senda de expansión K(L)/ K/L = w/v => K = w/v ∗ L, una recta.

6 La función de costos

Función de costo total: muestra el costo total mínimo en que incurre la empresa para alcanzar un nivel de producción q determinado, dado los precios de los factores de producción.

CT = CT (w, v, q)

Matemáticamente sale de sustituir (K^{∗}, L^{∗}) hallados como solución del problema de minimización de costos en la función objetivo de este problema; wL + vK

Función de costos medios:

CMe(w, v, q) = \frac{CT (w, v, q)}{q}

Función de costos marginales:

CM(w, v, q) = \frac{δCT (w, v, q)}{δq}

6.1 Análisis gráfico

6.1.1 Caso 1: CT, CMe y CM con rendimientos constantes a escala

Supongamos

CT (q = 1) = vK_{1} + wL_{1}

Si existen rendimientos constantes a escala:

CT (q = m) = vmK_{1} + wmL_{1} = m (vK_{1} + wL_{1}) = mCT (q = 1)

Los CT son proporcionales a q. CT = mq CT es una recta. Gráfico

CMe y CM son constantes Gráfico

6.1.2 Caso 2: CT, CMe y CM cuando CT es cúbica

CT (q) = aq^{3} + bq^{2} + cq + d

con a ≠ 0. La típica CT es la del gráfico con b < 0. Las funciones de CMe y CM tienen forma ”U”

1) CM = CMe en q = 0 Demostración usando L’Hopital rule. En las primeras unidades de q el CMe es más alto que el CM ya que el

CMe refleja también el costo (mayor) de todas las unidades a la izquierda de q con un CM más alto.

7 Variación de los precios de los factores

Cuando varían los precios de los factores varían las sendas de expansión de las empresas sobre las cuáles se basan las curvas de costos. éstas cambian. ¿Cómo?

7.1 Homogeneidad de grado 1 en los precios de los factores

CT, CMe y CM son homogéneas de grado 1 en los precios

7.2 Variación del precio de un factor

Dirección del efecto Debe elevar el CT de cualquier q Gráficamente Matemáticamente: por teorema del envolvente \frac{δCT}{δw} = \frac{δ£}{δw} = L > 0 Como lo anterior es mayor que cero para todo q, el CMe también aumen-

tará

Costo marginal:

\frac{δCM}{δv} = \frac{δ^{2}£}{δqδv} = \frac{δ^{2}£}{δvδq} = \frac{δK}{δq} ⋚ 0

eJEMPLO: fUNCIÓN DE PRODUCCIÓN cOBB dOUGLAS