LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN

Marcelo Caffera

1 Funciones de Producción

Se escribe:

q = f(K, L, M, ...)

donde:

q : producción de un determinado bien durante un período de tiempo K : uso de maquinaria (capital) en ese período. L : horas de trabajo utilizadas en la producción de la cantidad q M : cantidad de otras materias primas utilizadas en la producción de q

durante ese período, etc.

Representa la ”receta”: La cantidad máxima de un producto q que se puede obtener con distintas cantidades de los insumos que son necesarios para su producción. Pero no es la receta. Es más bien una representación matemática de la receta. Por lo general, dejamos muchos insumos de lado cuando escribimos una función de producción. Ejemplo: recursos naturales, capacidades de obreros y propietarios o información, energía (!!),etc. Alguien ha propuesto que la función de producción debería ser q = f(I, M, E), donde I es información, M es materiales y E es energía. Dentro de I irían cosas como destreza, tecnología, conocimiento. Dentro de M irían cosas como nosotros (L), recursos naturales, y otras materias primas. Dentro de E la energía necesaria para hacer la producción, incluída la energía incluída en la confección de las máquinas a utilizar (K).

En la estimación estadística de estas funciones, todos estos insumos que no se explicitan pasan a formar parte del error estadístico de la estimación. (Crítica de Daly al "residuo de Solow". Fuente: casse.org).

Implicitamente indica que hay muchas maneras de obtener la misma cantidad del producto final: con mucho L y menos K o al revés

¿Cómo elige la empresa su q objetivo y la cantidad de K, L y el resto de los insumos?

Primero vemos algunos conceptos que nos van a servir en la respuesta a esta pregunta.

1.1 Variaciones de un factor: el producto marginal

Supuesto: Dos insumos: K y L

q = f(K, L)

Producto marginal de un factor: Es ...(explicación en palabras). Producto marginal del capital:

P M_{K} = \frac{∂q}{∂K} = \frac{∂f}{∂K} = f_{K}

Producto marginal del trabajo:

P M_{L} = \frac{∂q}{∂L} = \frac{∂f}{∂L} = f_{L}

Productividad marginal decreciente: Es un supuesto. Bastante intuitivo.

\frac{∂P M_{K}}{∂K} = \frac{∂^{2}q}{∂K^{2}} = \frac{∂^{2}f}{∂K^{2}} = f_{KK} < 0

Lo mismo para L Producto medio:

P Me_{L} = \frac{q}{L} = \frac{f(K, L)}{L}

1.2 Ejemplo de una función de producción de 2 fac-

tores

q = f(K, L) = 600K^{2}L^{2} − K^{3}L^{3}

¿P M_{L} y P Me_{L}? Debemos fijar K = 10

q = f(K = 10, L)
= 600 ∗ 10^{2} ∗ L^{2} − 10^{3} ∗ L^{3}
= 60000L^{2} − 1000L^{3}

P M_{L} : Cuando K = 10, q alcanza el máximo cuando P M_{L} = \frac{∂q}{∂L} = 0. Hago

cuentas y da

L = 40
q = 32

P Me_{L} = Cuando K = 10, P Me_{L} alcanza el máximo cuando...\frac{∂P Me_{L}}{∂L} = 0

L = 30

1.2.1 Cuando P Me_{L} alcanza el máximo, P M_{L} = P Me_{L}

Cuentas con el ejemplo anterior:

Demostración:

\frac{∂P Me_{L}}{∂L} = \frac{∂ (\frac{f(K,L)}{L})}{∂L} = \frac{f_{L}L − f(K, L)}{L^{2}} = 0 ⇔ f_{L}L = f(K, L)
⇒ f_{L} = \frac{f(K, L)}{L}
⇒ P M_{L} = P Me_{L}

2 Los mapas de iso-cuantas y la Tasa Marginal de Sustitución Técnica

Isocuanta: Es...

f(K, L) = q_{0}

Mapa de iso-cuantas: misma idea que mapa de curvas de indiferencia pero son mensurables.

2.1 Relación Marginal de Sustitución Técnica

T MST (K por L) = −\frac{dK}{dL}_{q=q_{0}}

2.1.1 La RST como cociente de las productividades marginales

q = f(K, L)
dq = f_{K}dK + f_{L}dL

A lo largo de una isocuanta dq = 0

0 = f_{K}dK + f_{L}dL
−f_{K}dK = f_{L}dL
−\frac{dK}{dL} = \frac{f_{L}}{f_{K}}

T MST (K por L) = −\frac{dK}{dL}_{q=q_{0}} = \frac{f_{L}}{f_{K}} = \frac{P M_{L}}{P M_{K}}

Las isocuantas pueden tener pendientes positivas ( P M_{L} o P M_{K} pueden ser negativas) pero ninguna empresa operará en estos segmentos (nadie contratará K o L si hacerlo le disminuye q). Por lo tanto siempre serán positivas y por lo tanto RST < 0.

2.1.2 ¿Qué implica que la RST sea decreciente?

Las isocuantas del gráfico no sólo tienen pendiente negativa ( RST < 0) sino que además son convexas (RST es decreciente). ¿Que implica esto para f(K, L)?

RST decreciente significa

\frac{dRST}{dL} < 0 => \frac{d (\frac{f_{L}}{f_{K}} )}{dL} < 0

Tenemos que tenner cuidado al deriva esta expresión. La misma mide como cambia la TMST cuando cambia L a lo largo de la isocuanta. Por ende, un cambio en L tiene un efecto directo sobre f_{L} y f_{K}, pero también tiene un efecto indirecto a través de dK/dL; lo que se tiene que mover K cuando se mueve L para mantenernos sobre la misma isocuanta.

\frac{d (\frac{f_{L}(K,L)}{f_{K}(K,L)})}{dL} = \frac{(f_{LK} \frac{dK}{dL} + f_{LL})f_{K} − f_{L}(f_{KK} \frac{dK}{dL} + f_{KL})}{f_{K}^{2}}

Valiéndonos de que −\frac{dK}{dL} = \frac{f_{L}}{f_{K}} a lo largo de la isocuanta y de que f_{KL} = f_{LK}

\frac{(f_{LK} (−\frac{f_{L}}{f_{K}} ) + f_{LL})f_{K} − f_{L}(f_{KK} (−\frac{f_{L}}{f_{K}} ) + f_{LK})}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL}f_{K} − f_{LK}f_{L} − f_{L}f_{LK} + f_{KK} (\frac{f_{L}^{2}}{f_{K}} )}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL}f_{K} − 2f_{L}f_{LK} + f_{KK} (\frac{f_{L}^{2}}{f_{K}} )}{f_{K}^{2}}

\frac{f_{LL} (f_{K})^{2} − 2f_{L}f_{K}f_{LK} + f_{KK} (f_{L})^{2}}{(f_{K})^{3}}

Puesto que hemos supuesto que f_{K} > 0, el denominador de esta expresión es positivo. Como hemos supuesto que f_{LL} y f_{KK} son negativas, lo que necesitamos para que todo el cociente sea negativo es que f_{LK} sea positiva. Si podemos suponer que estos es así tendremos que \frac{dRST}{dL} < 0 (la RST es decreciente y las isocuantas son convexas). Como vimos en la introducción matemática las funciones para las cuales el numerador de este cociente es negativo se llaman funciones (estrictamente) cuasi-cóncavas. En conclusión, si queremos que la T MST sea decreciente, tenemos que suponer que la función de producción es cuasi-cóncava.

Aunque suponer f_{LK} = f_{KL} > 0 es intuitivo, no tiene que ser necesariamente el caso. Por lo que si no estamos dispuestos a hacer este supuesto, lo que estaremos suponiendo si o si es que las productividades marginales decrecen lo suficientemente rápido (f_{LL} y f_{KK} son tan negativas) que compensan cualquier efecto posible de un f_{LK} = f_{KL} negativo.

2.1.3 Ejemplo 7.2 del libro

Seguimos con la función de producción del ejemplo anterior:

q = f(K, L) = 600K^{2}L^{2} − K^{3}L^{3}

• Calculo los dos productos marginales, factorizo, y veo que ambos son positivos solo si kl < 400. Interpretación: ...

• Calculo fLL y f_{KK}. Factorizo y veo que ambas son negativas para kl > 200

• Pero aun en el intervalo 200 < kl < 400 no nos podemos asegurar que la T MST sea negativa en todo el tramo. Calculo f_{KL} y al factorizar obtengo que es positiva para kl < 266.

3 Los Rendimientos a Escala

q = f(K, L)
t > 1

1. Rendimientos Constantes a Escala:

f(mK, mL) = mf(K, L) = mq

2. Rendimientos Crecientes a Escala

f(mK, mL) > mf(K, L) = mq

3. Rendimientos Decrecientes a Escala

f(mK, mL) < mf(K, L) = mq

3.1 Los Rendimientos Constantes a Escala y la TMST

Motiva estudiar los rendimientos constantes a escala el hecho de que una rama industrial o la economia en su conjunto de un país exhibe algo parecido a rendimientos a escala, segun unos estudios segun Nicholson para EEUU. Habría que ver si se puede decir algo parecido para Uruguay.

Una funcion de producción con rendimientos contantes a escala es una función homogénea de grado 1:

f(mK, mL) = m^{1}f(K, L) = mq

Por el Teorema de Euler sabemos que si una funcion en homogénea de grado k, sus derivadas serán homogéneas de grado k −1. Por lo tanto los productos marginales de una funcion de producción con rendimientos constantes a escala serán funciones homogéneas de grado cero. Es decir,

P M_{K} = \frac{∂f(K, L)}{∂K} = \frac{∂f(mK, mL)}{∂K}

y

P M_{L} = \frac{∂f(K, L)}{∂L} = \frac{∂f(mK, mL)}{∂L}

Esto es cierto para todo m > 0. En particular, podemos hacer m = 1/l. En este caso, obtenemos

P M_{K} = \frac{∂f(K/L, 1)}{∂K}

P M_{L} = \frac{∂f(K/L, 1)}{∂L}

Es decir, que la producitivdad marginal del capital y del trabajo en una función de produccion de rendimientos constantes a escala depende de la relacion K/L y no de las cantidades absolutas de K y L.

Una consecuencia de lo anterior es que la T MST = P M_{K}/P M_{L} de una función de producción con rendimientos constantes a escala no variará si incrementamos K y L en la misma proporción. Sus isocuantas serán expansiones radiales unas de otras. La T MST no variará a lo largo de cualquier rayo que parte del origen.

grafico

Sin embargo, una función de producción podrá tener isocuantas homoteticas aunque no presente rendimientos constantes a escala. Para demostrar estos solo basta una transformación como la exponencial. Sea f(K, L) un funcion de produccion que exhibe rendimientos constantes a escala. Sea

F (K, L) = f(K, L)^{γ}

donde γ > 1. Por ende,

F (tK, tL) = f(tK, tL)^{γ} = [tf(K, L)]^{γ} = t^{γ}f(K, L)^{γ} = t^{γ}F (K, L) > tF (K, L)

para t > 1. Por ende esta funcion F exhibe rendimientos crecientes a escala. Sin embargo sus isocuantas serán homotéticas.

3.2 La Elasticidad de Sustitución

σ = \frac{Variación porcentual en K/L}{Variación porcentual en T MST} = \frac{d(K/L)/(K/L)}{dT MST/T MST} = \frac{∂ ln(K/L)}{∂ ln(T MST)}

3.2.1 Descripción gráfica de la elasticidad de sustitucion

4 Algunas funciones de producción (esto no lo doy en clase)

Dos factores. Fácil generalización.

4.1 Función lineal (σ = ∞)

q = aK + bL

Es fácil demostrar que tiene rendimientos constantes a escala para todo m > 0.

Todas las isocuantas de esta función son líneas rectas con pendiente −b/a.

La RST no cambia a lo largo de la isocuanta. Elasticidad de sustitución infinita.

K y L son sustitutos perfectos.

Ejemplo:

4.2 Proporciones fijas (σ = 0)

Isocuantas en forma de L K/L fijo => σ = 0

q = min(aK, bL)
a, b > 0

4.3 Cobb-Douglas (σ = 1)

q = AK^{a}L^{b}
A, a, b > 0

Los rendimientos a escala dependen del valor de a + b

Tiene elasticidad de sustitución = 1

Se puede estimar en logaritmos

e_{q,K} = a e_{q,L} = b

4.4 ESC (CES)

q = [K^{ρ} + L^{ρ}]^{\frac{∈}{ρ}}

ρ ≤ 1, ρ ≠ 0 y ϵ > 0. os rendimientos a escala dependen del valor de ϵ. Si ϵ > 1 los rendimientos son crecientes a escala y para ϵ < 1 los rendimientos son decrecientes a escala.

σ = \frac{1}{1 − ρ}

El resto de las funciones de producción vistas son casos particulares de la función ESC

Cuando ρ = 1 => Caso lineal Cuando ρ = −∞ => Proporciones fijas (requiere un argumento basado

en límites)

Cuando ρ = 0 => Cobb-Douglas (requiere un argumento basado en límites)

La función ESC se se utiliza a veces con una ponderación β (0 ≤ β ≤ 1) para indicar la importancia relativa de los factores.

Práctico 11.1, 11.2, y 11.4

References

[1] Nicholson, W. (2004) ”Teoría Microeconómica. Pricnicpios Básicos y Aplicaciones” 8^{a} edición. Thomson.