Las Variaciones en el Ingreso y los Precios  Marcelo Caffera

3. VARIACIONES DE INGRESO Y PRECIOS

Marcelo Caffera

1 Las Funciones de Demanda

Introducimos notación

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I)

⋮

x_{n}^{∗} = d_{n}(P_{1}, .., P_{n}, I)

1.1 Homogeneidad:

Es facil ver informalmente en el caso de 2 bienes que si multiplicamos ambos precios y el ingreso por un número positivo, las cantidades demandadas de x e y no van a variar porque la restricción no varía.

P xX + P yY = I

es lo mismo que

2P xX + 2P yY = 2I

Definición: Una función f(x_{1}, ..x_{n}) es homogénea de grado k, si f(tx_{1}, .., tx_{n}) = t^{k}f(x_{1}, ..x_{n}).

Las funciones de demanda son homogéneas de grado cero:

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I) = d_{1}(tP_{1}, .., tP_{n}, tI) para todo t > 0

1.1.1 Ejemplo: las funciones de demanda de la función de utilidad Cobb-Douglas:

x^{∗} = \frac{αI}{P_{x}}

y^{∗} = \frac{βI}{P_{y}}

2 Las Variaciones del Ingreso

Análisis gráfico de aumentos sucesivos en I.

FIGURA 5.1 NICHOLSON

Observar:

1. Las RP son paralelas. El cociente de precios no cambia. Por consiguiente:

2. La RMS no puede cambiar porque siempre tiene que ser igual al cociente de precios, que no cambia.

Con esta información construimos la Curva de Engel para un bien determinado, en este caso x en el eje (x, y). Las curvas de Engel son un concepto que anda por allí pero que nosotros no vamos a utilizar mucho en este curso.

2.1 Bienes Normales e Inferiores

Las variaciones de las cantidades demandadas de los bienes ante variaciones en el ingreso nos permite clasificar a los bienes en normales o inferiores.

X_{i} es un bien normal en un intervalo del ingreso si:

\frac{∂x_{i}^{∗}}{∂I} ≥ 0

Si \frac{∂x_{i}^{∗}}{∂I} < 0 en ese intervalo, entonces x_{i} es un bien inferior: transporte colectivo.

Gráfico de aumentos sucesivos en el ingreso con un bien inferior:

FIGURA 5.2 NICHOLSON

3 Las Variaciones en el precio de un bien

3.1 Análisis gráfico de un descenso en el precio de P_{x}, el cual baja de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}

FIGURA 5.3 NICHOLSON

La canasta óptima pasa de (X^{∗}, Y^{∗}) a (X^{∗∗}, Y^{∗∗}). Pero este cambio total se puede descomponer en dos efectos:

1. el efecto sustitución: de A a B

2. el efecto ingreso: de B a C

SERÍA BUENO ENCONTRAR UN EJEMPLO EN EL CUÁL NOS IN-TERESA AISLAR EL EFECTO RENTA DEL EFECTO SUSTITUCIÓN.

3.2 Análisis gráfico de un aumento en el precio de P_{x}, el cual sube de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}

3.3 El efecto de un aumento en el precio en el caso de los bienes inferiores

El efecto-ingreso y el efecto-sustitución van en sentido contrario

El efecto total es indeterminado. (Si el efecto total es positivo (baja P_{x} y baja la cantidad demandad de X) estamos frente a un bien de Giffen).

4 La Curva de Demanda del Individuo

Por lo general lo que vemos en las gráficas de economía se conocen como curvas de demanda, no funciones de demanda. ¿Cuál es la relación entre las curvas de demanda utilizadas en tantos gráficos y las funciones de demanda recién obtenidas? Las curvas de demanda se desprende de las funciones de demanda. Como vimos, la función de demanda se escribe como

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, .., P_{n}, I)

La curva de demanda vendrá dada por

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1}, P̄_{2}, ..., P̄_{n}, Ī)

donde las barras sobre P_{2}, .., P_{n}, I, quiere decir que estos determinantes de la cantidad demanda están fijos, son constantes. A veces las curvas de demanda se escriben, por comodidad, simplemente como

x_{1}^{∗} = d_{1}(P_{1})

4.1 Análisis gráfico de la obtención de una curva de demanda d_{x} :

En el eje (X, Y), y el eje (P_{x}, X) a medida que baja P_{x} :

FIGURA 5.5

Definición: La curva de demanda individual muestra la relación entre la cantidad demanda de un bien y su precio, cuando todas las demás variables que determinan la cantidad demandada de ese bien permanecen constantes.

Cuando estas otras variables cambian, tenemos:

4.2 Desplazamientos de la curva de demanda

4.3 Ejemplo: Funciones de demanda y curvas de demanda

Vimos en el Ejemplo 4.2 del libro que las funciones de demanda de una función de utilidad Cobb-Douglas:

U(x, y) = x^{0,3}y^{0,7}

son

x = \frac{0, 3I}{P_{x}}
y = \frac{0, 7I}{P_{y}}

Para dibujar las curvas de demanda tenemos que saber I. Si I = 100, tenemos

x = \frac{30}{P_{x}}
y = \frac{70}{P_{y}}

que son las curvas de demanda que queremos dibujar. Y son hipérbolas rectangulares.

También vimos en el Ejemplo 4.2 del libro que las funciones de demanda de una función de utilidad ESC:

U(x, y) = x^{0,5} + y^{0,5}

son

x = (\frac{1}{1 + P_{x}/P_{y}} ) × \frac{I}{P_{x}}
y = (\frac{1}{1 + P_{y}/P_{x}} ) × \frac{I}{P_{y}}

En este caso, para dibujar las curvas de demanda tenemos que saber I pero también P_{x} y P_{y}. Si I = 100, y P_{y} = 1, tenemos

x = \frac{100}{(P_{x}^{2} + P_{x})}

que son las curvas de demanda que queremos dibujar. Y son hipérbolas rectangulares.

\frac{∂x}{∂I} = (\frac{1}{1 + P_{x}/P_{y}} ) × \frac{1}{P_{x}} > 0
\frac{∂x}{∂P_{y}} = \frac{1}{(P_{x} + P_{y})^{2}} > 0

4.4 Curva de Demanda Compensada

Análisis gráfico h_{x}

FIGURA 5.6

A medida que P_{x} baja de P′_{x} a P′′_{x} al individuo se le "compensa" para mantenerlos en la misma curva de indiferencia U_{2}. Se le saca I (en este caso) para que su utilidad no aumente.

4.5 Relación entre las curvas de Demanda Compensada y no-compensada

Si el bien x es un bien normal, la h_{x} es más empinada porque incorpora sólo el efecto sustitución mientras que la no-compensada (d_{x}) incorpora el efecto sustitución + el efecto ingreso.

Análisis gráfico. Supongamos que partimos del punto (P_{x}^{0}, X^{0}), en donde se cruzan h_{x} y d_{x}. Este punto es ...I = E^{∗}.

FIGURA 5.7

Cuando P_{x} aumenta la disminución en la cantidad demandada de x es menor por h_{x} que por d_{x} porque en el caso de h_{x} el individuo es compensado por su pérdida de poder adquisitivo de tal forma que se mantiene en la misma curva de indiferencia.

Cuando P_{x} baja sucede lo contrario. El aumento en la cantidad demandada de x es mayor por d_{x} ya que en el caso de h_{x} el individuo es ”castigado” (le ”sacan plata”) para impedir que alcance una curva de indiferencia más alta.

4.6 Ejemplo: Demandas compensadas de U(X, Y) =

\sqrt{XY}

Las funciones de demanda marshallianas en este ejemplo eran

x^{∗} = \frac{I}{2P_{x}}

y^{∗} = \frac{I}{2P_{y}}

Para obtener las funciones de demanda compensadas basta con despejar I de V (P_{X}, P_{Y} , I) y sustituirlo en estas funciones.

V (P_{X}, P_{Y} , I) = \frac{I}{2\sqrt{P_{X}P_{Y}}}

V 2\sqrt{P_{X}P_{Y}} = I

h_{x} = \frac{V 2\sqrt{P_{X} ∗ P_{Y}}}{2P_{x}} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

h_{y} = \frac{V 2\sqrt{P_{X} ∗ P_{Y}}}{2P_{Y}} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{X}} \\ √ & \overline{P_{Y}} \end{matrix}

Utilizando ambas demandas podemos ver que cuando P_{X} = 0, 25, P_{Y} = 1, I = 2, V = 2, ambas dan los mismo resultados (X = 4, Y = 1)

Pero, por ejemplo, cuando P_{X} sube a P_{X} = 1

d_{x} = 1
h_{x} = 2

La cantidad demandada de x cae menos segun h_{x} que d_{x} porque h_{x} no incluye el efecto ingreso (negativo en este caso).

5 Análisis Matemático de las Variaciones en los Precios

Hasta ahora lo vimos básicamente con gráficos. Ahora queremos analizar \frac{∂x}{∂P_{X}} . Utilizamos un enfoque indirecto para hacer más rico el análisis. Suponemos que existen solamente dos bienes X e Y. Queremos ilustrar la relación entre h_{x} y d_{x}.Por definición

h_{x}(P_{X}, P_{Y} , U) = d_{X}(P_{X}, P_{Y} , E(P_{X}, P_{Y} , U))

Diferenciando parcialmente con respecto a P_{X}

\frac{∂h_{x}}{∂P_{X}} = \frac{∂d_{X}}{∂P_{X}} + \frac{∂d_{X}}{∂I} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}}

Re-ordenando los términos:

\frac{∂d_{X}}{∂P_{X}} = \frac{∂h_{x}}{∂P_{X}} − \frac{∂d_{X}}{∂I} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}}

Donde:

• \frac{∂h_{x}}{∂P_{X}} es la pendiente de la h_{x} (efecto sustitución)

• \frac{∂d_{X}}{∂E} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}} es la variación en la cantidad demandada de x ante un cambio en su precio a través del cambio en el gasto (efecto ingreso). Cuando aumenta P_{X} el gasto necesario para mantenerse en la misma curva de indiferencia (la misma U) tiene que aumentar. Por lo tanto \frac{∂E}{∂P_{X}} > 0. Sabemos que \frac{∂d_{X}}{∂I} > 0. Por lo tanto, −\frac{∂d_{X}}{∂I} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}} < 0. Cuando el precio aumenta el efecto ingreso hace que la cantidad demandad disminuya, y viceversa.

5.1 La Ecuación de Slutsky

Introducimos primero algunos cambios en la notación:

Efecto sustitución : \frac{∂h_{x}}{∂P_{X}} = \frac{∂X}{∂P_{X}} _{U constante}

Efecto ingreso : −\frac{∂d_{X}}{∂I} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}} = −\frac{∂X}{∂I} ∗ \frac{∂E}{∂P_{X}}

Aplicando el teorema del envolvente en el problema de minimización de gasto, se puede demostrar que

\frac{∂E}{∂P_{X}} = X

Demostración: El problema de minimización del gasto es minimizar P_{X} ∗ X + P_{Y} ∗ Y sujeto a \overline{U} = U(X, Y). El Lagrangeano de este problema es L = P_{X} ∗ X + P_{Y} ∗ Y +λ(\overline{U} − U(X, Y)). El teorema del envolvente nos dice que

\frac{∂E}{∂P_{X}} = \frac{∂L}{∂P_{X}} = X

Intuición: Cuando P_{X} sube $1, el gasto mínimo necesario para alcanzar \overline{U} sube $X (= $1 ∗ X).

Combinando las tres expresiones obtenemos la Ecuación de Slutsky:

\frac{∂X}{∂P_{x}} = \frac{∂X}{∂P_{X}} _{U constante}-X ∗ \frac{∂X}{∂I}

Que dice que el cambio en la cantidad demandad de X ante un cambio en su precio es igual al efecto sustitución menos el efecto renta. \frac{∂h_{x}}{∂P_{X}} < 0 Efecto sustitución. Negativo si RMS decreciente. \frac{∂X}{∂I} > 0 si X es un bien normal. Por lo que −\frac{∂X}{∂I} ∗ X < 0 si X es un bien normal. En el caso de un bien normal, el efecto sustitución y el efecto ingreso actúan en el mismo sentido para generar una d_{x} con pendiente negativa

5.2 Ejemplo con las funciones de demanda de U(X, Y) =

\sqrt{XY}
d_{x} = \frac{I}{2P_{x}}
h_{x} = V \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

El efecto total de un cambio en el precio lo obtenemos diferenciando la función de demanda marshalliana:

\frac{∂d_{x}}{∂P_{x}} = −\frac{2I}{4P x^{2}} = −\frac{I}{2P x^{2}}

Ahor demostraremos que este efecto total es la suma de los dos efectos que identificó Slutsky:

Efecto sustitución: \frac{∂h_{x}}{∂P_{x}} = −V \frac{\sqrt{P_{y}} ∗ 1/2 ∗ P_{x}^{−1/2}}{P_{x}} = −\frac{V}{2} \frac{\sqrt{P_{y}}}{P_{x}^{3/2}}

Para eliminar V utilizamos la función de utilidad indirecta V (P_{X}, P_{Y} , I) =

\frac{I}{2\sqrt{P_{X}P_{Y}}}

\frac{∂h_{x}}{∂P_{x}} = − \frac{\frac{I}{2\sqrt{P_{X}P_{Y}}}}{2} \frac{\sqrt{P_{y}}}{P_{x}^{3/2}} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}}

La segunda parte de la ecuación de Slutsky viene dada por:

−X ∗ \frac{∂X}{∂I} = −\frac{I}{2P_{x}} \frac{1}{2P_{x}} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}}

Combinando los dos últimos resultados:

\frac{∂d_{x}}{∂P_{x}} = \frac{∂X}{∂P_{X}} _{U constante} − X ∗ \frac{∂X}{∂I} = −\frac{I}{4P_{x}^{2}} − \frac{I}{4P_{x}^{2}} = −\frac{I}{2P x^{2}}

6 La Elasticidad

6.1 Definición general

Una variable b es función de una variable a, entre otras

b = f(a, ...)

Elasticidad de b con respecto a a :

e_{b,a} = \frac{variación porcentual en b}{variación porcentual en a} = \frac{Δb/b}{Δa/a} = \frac{Δb}{Δa} \frac{a}{b} = \frac{∂b}{∂a} \frac{a}{b}

La razón de utilizar e_{b,a} en lugar de utilizar simplemente \frac{∂b}{∂a} es que \frac{∂b}{∂a} está medido en unidades de b por cada unidad de a y por lo tanto depende de las unidades de medida. Sin embargo e_{b,a} no depende de las unidades de medida de b y a-. Está expresada en puntos porcentuales.

6.2 Elasticidades de la demanda marshalliana

6.2.1 Elasticidad precio

e_{q,p} = \frac{variación porcentual de q}{variación porcentual de p} = \frac{Δq/q}{Δp/p} = \frac{Δq}{Δp} \frac{p}{q} = \frac{∂q}{∂p} \frac{p}{q}

Valor de e_{q,p} en un punto Terminología de la curva de demanda en ese punto

e_{q,p} < −1 Elástica

e_{q,p} = −1 De elasticidad unitaria e_{q,p} > −1 Inelástica

La elasticidad-precio y el gasto total ¿Cómo varía el gasto total en un bien ante cambios en su P? Depende de la e_{q,p}. ¿Cómo?

\frac{∂ [P ∗ Q(P)]}{∂P} = Q(P) + P ∗ Q′(P)

Dividiendo ambos miembros por Q :

\frac{∂ [P ∗ Q(P)]}{∂P} = \frac{Q(P)}{Q(P)} + \frac{P ∗ Q′(P)}{Q(P)} = 1 + e_{q,p}

Si e_{q,p} < −1 : un aumento en P disminuye el gasto total P Q Si e_{q,p} = −1 : un aumento en P no afecta el gasto total P Q Si e_{q,p} > −1 : un aumento en P aumenta el gasto total P Q

6.2.2 Elasticidad-ingreso de la demanda marshalliana

e_{q,I} = \frac{variación porcentual de q}{variación porcentual de I} = \frac{Δq/q}{ΔI/I} = \frac{Δq}{ΔI} \frac{p}{I} = \frac{∂q}{∂I} \frac{I}{q}

Si e_{q,I} > 0, q es un bien normal. Si e_{q,I} < 0, q es un bien inferior.

6.2.3 Elasticidad - precio cruzada

e_{q,p′} = \frac{∂q}{∂p′} \frac{p′}{q}

Si e_{q,p′} > 0,sustitutos brutos Si e_{q,p′} < 0,complementarios brutos

6.3 Elasticidades de la demanda hicksiana

Las definiciones son similares, excepto que en el caso de la demanda compensada no tiene sentido preguntarse por la elasticidad ingreso.

6.4 Algunas relaciones entre las elasticidades

Supuestos:

Dos bienes ( x e y) Consumidor representativo

6.4.1 La suma ponderada de las elasticidades-ingreso de todos los bienes es igual a 1

P_{x}X + P_{y}Y = I

Diferenciando con respecto a I

P_{x} \frac{∂X}{∂I} + P_{y} \frac{∂Y}{∂I} = 1

Multiplicando y dividiendo entre X ∗ I y Y ∗ I

\frac{P_{x}X}{I} \frac{∂X}{∂I} \frac{I}{X} + \frac{P_{y}Y}{I} \frac{∂Y}{∂I} \frac{I}{Y} = 1

s_{x}e_{x,I} + s_{y}e_{y,I} = 1

La suma ponderada de todas las elasticidades renta suman 1. Si la renta aumenta un 10%, el gasto toal aumenta un 10%.

6.5 Ejemplo: Relación entre la elasticidad precio de la demanda marshalliana y la hicksiana

Podemos ver la relación del titulo multiplicando todos los términos de la ecuación de Slutsky por p_{x}/x :

\frac{p_{x}}{x} \frac{∂x}{∂p_{x}} = \frac{p_{x}}{x} \frac{∂x}{∂p_{x}}_{U constante} − \frac{p_{x}}{x} ∗ x ∗ \frac{∂x}{∂I}

y multiplicando y dividiendo por I en el‘último término,

e_{x,p_{x}} = e_{x^{c},p_{x}} − \frac{p_{x} ∗ x}{I} ∗ \frac{∂x}{∂I} ∗ \frac{I}{x}

e_{x,p_{x}} = e_{x^{c},p_{x}} − s_{x}e_{x,I}

Observando esta expresión se puede concluir fácilmente que cuanto más pequeños sean cualquiera de los dos compenentes del último término de esta igualdad, más parecidas serán las elasticidades e_{x,p_{x}} y e_{x^{c},p_{x}}. Ello requiere que sea pequeño s_{x}, el peso del gasto en x en el presupuesto, o que sea pequeño e_{x,I}, la elasticidad ingreso de x. Ambas cosas harán que la compensación sea pequeña.

6.5.1 Las Elasticidades de la función de demanda de la función de utilidad Cobb-Douglas U(x, y) = x^{α}y^{β}, α + β = 1 (Ejemplo 5.5)

Recordando las funciones de demanda de x e y correspondientes a una función de utilidad Cobb-Douglas U(x, y) = x^{α}y^{β}, con α + β = 1 son

x(p_{x}, p_{y}, I) = \frac{αI}{p_{x}}

y(p_{x}, p_{y}, I) = \frac{αI}{p_{y}}

Calculamos

e_{x,p_{x}}
e_{x,p_{y}}
e_{y,p_{y}}
e_{y,p_{x}}
e_{x,I}
e_{y,I}
s_{x}
s_{y}

7 El Excedente del Consumidor

Un problema importante en economía aplicada es saber cómo afecta al bienestar de la gente las variaciones en los precios. Por ejemplo, si en un mercado no competitivo los oferentes se ponen de acuerdo para subir el precio, esto repercutirá negativamente en el bienestar de los compradores. Para asignarle un valor económico a esta pérdida calculamos la variación en el Excedente de los Consumidores.

7.1 Valor monetario del cambio en un precio a través de la función de gasto

¿Cómo varía el bienestar del consumidor cuándo varía P? Partiendo de la función de gasto, una forma de asignarle valor a este cambio consiste en comparar los niveles de gasto necesarios para mantener el mismo nivel de utilidad luego del cambio en los precios. Dado un nivel de utilidad inicial u objetivo U^{0},

E(P_{X}, P_{Y} , U^{0})

Suponga que el precio de x, P_{x} cambia de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}.Los gastos necesarios para alcanzar U^{0} con P_{x}^{0} : E_{0} = E(P_{X}^{0}, P_{Y} , U^{0}). Los gastos necesarios para permanecer en U^{0} con P_{x}^{1} : E_{1} = E(P_{X}^{1}, P_{Y} , U^{0}). Una estimación del valor monetario del efecto del cambio en los precios vendría dada entonces por E_{0} − E_{1}. Cuando P_{x} sube de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}, E_{0}− E_{1} < 0 - pérdida. Cuando P_{x} baj a de P_{x}^{0} a P_{x}^{1}, E_{0}− E_{1} > 0 - ganancia. Esta forma de medir el cambio en el bienestar de los consumidores que produce un cambio en el precio se llama Variación Compensatoria (VC). Es decir,

V C = E(P_{X}^{0}, P_{Y} , U^{0}) − E(P_{X}^{1}, P_{Y} , U^{0})

Para definir V C no importa que nivel de gasto sumamos y cual restamos. Lo importante es que el nivel de utilidad de referencia es U^{0}. La idea de la V C es ¿cuanto habría que compensar al individuo para dejarlo en el mismo nivel de utilidad que tenía antes del cambio de precios?, ya se que esta compensación sea positiva (hay que pagarle) o negativa (hay que cobrarle, quitarle ingreso, por qu el precio bajó, típicamente).

En conclusión, conociendo la función de gastos es suficiente. Pero podemos también calcular la variación del bienestar de otra forma; utilizando las curvas de demanda.

7.2 Bienestar del consumidor y curvas de demanda

La medida de la VC tiene una aplicación empírica limitada porque no podemos observar las curvas de indiferencia del individuo como para compensarlo de esta forma. Pero podemos avanzar hacia el cálculo empírico de una medida monetaria del cambio en el bienestar que provoca un cambio en un precio. Para ello, empecemos por el siguiente resultado. Por el teorema del envolvente (Ver Anexo Matemático):

\frac{∂E(P_{X}, P_{Y} , U^{0})}{∂P_{x}} = h_{x}(P_{X}, P_{Y} , U^{0})

Este resultado es cierto ”en el margen” y se llama Lema de Shephard. Para evaluar las variaciones en los gastos necesarios correspondiente a una variación ”no marginal” o ”grande” en los precios debemos integrar la ecuación anterior.

Variación del gasto = ∫_{P_{x}^{0}}^{P_{x}^{1}} \frac{∂E(P_{X}, P_{Y} , U^{0})}{∂P_{x}}dP_{x} = ∫_{P_{x}^{0}}^{P_{x}^{1}} h_{x}(P_{X}, P_{Y} , U^{0})dP_{x}

La integral de arriba es la V C y corresponde al área a la izquierda de la curva de demanda compensada h_{x}, entre P_{x}^{0} y P_{x}^{1}. Éste es nuestro cálculo del valor monetario de la pérdida de bienestar.

7.3 VC y Excedente del Consumidor

El área de la gráfica anterior no es otra cosa que la pérdida del excedente del consumidor ante la subida en el precio. Por ende los cambios en el EC son una medida monetaria de la pérdida de bienestar causada por el incremento en el precio. La intuición detrás de este resultado es también fácil. El EC es la diferencia entre los que paga y la máxima disposición a pagar. Una disminución de esto es por lo tanto una medida de la pérdida de bienestar.

7.4 Las variaciones en el bienestar y la curva de demanda marshalliana

El individuo en realidad pierde poder adquisitivo cuando sube P_{x} y por lo tanto se ubica en una CI menor. Esto trae el problema de la existencia de cierta ambiguedad respecto a qué curva de demanda compensada utilizar para medir el EC : la original h_{x}(U_{0}) o la correspondiente al nivel de utilidad posterior al cambio U_{1}, h_{x} (U_{1}) . Esto da origen a otra medida de variaciones en el bienestar ante cambios en los precios, la Variación Equivalente. Se puede ver en el gráfico que el EC que sale de la d_{x} es una medida intermedia entre ambos EC que salen de la h_{x} (U_{1}) y h_{x} (U_{0}) .

7.4.1 Ilustración con nuestro viejo y querido ejemplo:

Del ejemplo que venimos maejando, sabemos que

h_{x} = U \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix}

Calculamos la pérdida de bienestar de un aumento de P_{x}^{0} = 0, 5 a P_{x}^{1} = 1. La variación del bienestar vimos que viene dada en este caso por:

∫_{0,25}^{1} U \begin{matrix}√ & \overline{P_{Y}} \\ √ & \overline{P_{x}} \end{matrix} dP_{x} = 2U\sqrt{P_{Y}} \sqrt{P_{x}}_{P_{x}=0,25}^{P_{x}=1}

Si suponemos que el nivel de utilidad inicial es U^{0} = 2, puesto que P_{y} = 1,

Pérdida = 4 − 4 (\sqrt{1/4}) = 4 − 2 = 2

Ésta pérdida es igual a lo que tiene que aumentar el gasto para mantenerse en U = 2

Si tomamos U^{1} = 1 como el nivel ”adecuado” de utilidad,

Pérdida = 2 − 2 (\sqrt{1/4}) = 2 − 1 = 1

Si utlizamos d_{x} = I/2P_{x},

Pérdida = ∫_{0,25}^{1} \frac{I}{2P_{x}} dP_{x} = I \frac{ln P x}{2}_{xP_{x}=0,25}^{P_{x}=1} = 0 − (ln 0.25) = 1. 386 3

8 Resumen: Lema de Shepard e Identidad de Roy

8.1 Relación entre los conceptos de demanda

Primal  Dual
max U(x, y) s.a. I = p_{x}x + p_{y}y  min E(x, y) s.a U(x, y) = \overline{U}
Demanda Marshallinana: x = dx(px, py, I)  Demanda compensada: x = hx(px, py, U)
Función de utilidad indirecta: U ∗ = V (px, py, I)  Función de gasto (inversa): E∗ = E(px, py, U)

Un paso más,

8.2 Identidad de Roy

L = U(x, y) − λ(I − p_{x}x − p_{y}y)

Aplicando el Teorema del Envolvente:

\frac{∂U^{∗}}{∂p_{x}} = \frac{∂L}{∂p_{x}} = −λx

Y

\frac{∂U^{∗}}{∂I} = \frac{∂L}{∂I} = λ

Por lo tanto

− \frac{\frac{∂U^{∗}}{∂p_{x}}}{\frac{∂U^{∗}}{∂I}} = − \frac{\frac{∂L}{∂p_{x}}}{\frac{∂L}{∂I}} = −\frac{−λx}{λ} = x = d_{x}(p_{x}, p_{y}, I)

8.3 Práctico N^{o}4:

2007: 5.4, 5.6 5.7 5.8 2010: 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, Novena edición. 2011: 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, Novena edición.

9 Anexo Matemático: Teorema de la Envol-

vente

Importante aplicación del teorema de la función implícita. Se refiere a la manera en que varía el valor óptimo de una función cuando varía un parámetro de la f. Importante atajo para muchos problemas.

Un ejemplo específico:

y = −x^{2} + ax

a) Resolución por el camino más largo.

\frac{dy}{dx} = −2x + a = 0
⟹ x^{∗} = \frac{a}{2}

Sustituyendo x^{∗} = \frac{a}{2}

y^{∗} = −(\frac{a}{2})^{2} + a.\frac{a}{2} = −(\frac{a}{4})^{2} + \frac{a}{2}^{2}
⟹ y^{∗}=\frac{a}{4}^{2}

\frac{dy^{∗}}{da} = \frac{2a × 4 − a^{2} × 0}{16} = \frac{8.a}{16} = \frac{a}{2}

El atajo de la envolvente El camino hecho recién puede ser muy com-

plicado o largo a veces.

Teorema de la envolvente: cuando a experimenta pequeñas variaciones es posible calcular \frac{∂y^{∗}}{∂a} manteniendo constante x en su valor óptimo y calculando simplemente \frac{∂y}{∂a} a partir de la función objetivo directamente.

Ej.

a = 2

,

y = −x^{2} + 2x

Maximizando,

y´ = −2x + 2 = 0
x^{∗}= 1

En este caso, y^{∗}(a) = y [x^{∗} (a)]

y^{∗} = −(1)^{2} + a(1)

⟹

y^{∗} = −1 + a

Y

\frac{∂y^{∗}}{∂a} = 1

Notar que cuando a = 2, que es este caso, si utilizamos \frac{dy^{∗}}{da} = \frac{a}{2}, resultado que obtuvimos por el camino largo, obtenemos que mismo resultado que el que acabamos de obtener por el atajo de la envolvente.

Generalmente el Teorema de la Envolvente dice:

\frac{∂y^{∗}}{∂a} =\frac{∂y}{∂a} \{x = x^{∗}(a)\}

¿Por que se llama Teorema del Envolvente?

En el caso que haya muchas variables:

y = f(x_{1}, x_{2}, ...., x_{n}; a)

Condición de Primer Orden:

\frac{∂f}{∂x_{i}} = 0, i = 1, ..., n

⟹

(x_{1}^{∗}, x_{2}^{∗}, .....x_{n}^{∗})

Suponiendo que se cumplen las condiciones de segundo orden se aplica el teorema de la función implícita y tenemos que:

x_{1}^{∗} = x_{1}^{∗}(a)
x_{2}^{∗} = x_{2}^{∗}(a)

.

.

x_{n}^{∗} = x_{n}^{∗}(a)

y^{∗} = f(x_{1}^{∗}(a), x_{2}^{∗}(a), ....., x_{n}^{∗}(a), a)

\frac{∂y^{∗}}{∂a} = \frac{∂f}{∂x_{1}} .\frac{∂x_{1}^{∗}}{∂a} + \frac{∂f}{∂x_{2}} .\frac{∂x_{2}^{∗}}{∂a} + ..... + \frac{∂f}{∂x_{n}} .\frac{∂x_{n}^{∗}}{∂a} + \frac{∂f}{∂a}

⇓  ⇓  ⇓
0  0  0

⟹

\frac{∂y^{∗}}{∂a} =\frac{∂f}{∂a}

10 Garbage

10.1 La preferencia revelada y el efecto sustitución

Samuelson (1947) demostró que el efecto sustitución es negativo sin necesidad de suponer que existe una U(.) que no se puede observar, lo cual era criticado. Samuelson denominó a esta demostración Teorema de la Preferencia Revelada.

Define un pincipio de racionalidad que se basa en la conducta observada y lo utiliza para deducir una función de utilidad del individuo. Una persona que siga el principio de racionalidad de Samuelson se comporta como si maximizara realmente una U(.) y muestra un efecto sustitución negativo.

10.1.1 Demostración gráfica del principio de racionalidad en la teoría de las preferencias reveladas

Considere dos canastas: A y B. Si dada una combinación de precios e ingreso tal que tanto A y B son asequibles y el individuo elije A, decimos que el individuio a "revelado su preferencia" por A frente a B. El principio de racionalidad afirma que bajo ninguna otra combinación de precios e ingresos tal que ambas canastas A y B sean asequibles el individuo podrá elegir B en lugar de A. Si elige B en lugar de A es por que A ya no es más asequible. El principio se presenta en la siguiente gráfica:

Figura 5.8 del Nicholson aquí.

Si con I_{1} el individuo compra la canasta A en lugar de la canasta B es porque prefiere A a B. Si con otra combinación de precios e impuestos comprara B es porque no puede alcanzar A. Con I_{2} elige B porque no llega a A. Nunca puede preferir B a A con otros precios e impuestos. Con I_{3} no elegirá A, pero tampoco B, sino otra canasta como C.

Observar que este enforque utiliza las reacciones observables frente diferentes restricciones presupuestales en lugar de suponer que existe una función de utilidad.

10.1.2 Negatividad del efecto sustitución

Utilizando el principio de racionalidad demostramos ahora que el efecto sustitución es negativo o cero.

Supongamos que un individuo es indiferente entre dos cestas: la C, que está compuesta por (X_{c}, Y_{c}) y la D, que esta compuesta por (X_{D}, Y_{D}). Sean P_{X}^{C} y P_{Y}^{C} los precios a los que se elige la canasta C y P_{X}^{D} y P_{Y}^{D} los precios a los que se elige la canasta D.

Dado que el individuo es indiferente entre C y D, deber ser que si elige la canasta C ésta cuesta al menos tanto como la D (Si D costara menos hubiera elegido D)^{1} :

P_{X}^{C}X_{c} + P_{Y}^{C}Y_{c} ≤ P_{X}^{C}X_{D} + P_{Y}^{C}Y_{D}

1La demostración (que se basa en Samuelson) no es del todo correcta porque la teoría de la preferencia revelada no contiene una definición de indiferencia.

Cuando elige D debe cumplirse algo similar:

P_{X}^{D}X_{D} + P_{Y}^{D}Y_{D} ≤ P_{X}^{D}X_{c} + P_{Y}^{D}Y_{c}

Reordenando ambas ecuaciones obtenemos:

P_{X}^{C}(X_{C} − X_{D}) + P_{Y}^{C}(Y_{C} − Y_{D}) ≤ 0
P_{X}^{D}(X_{D} − X_{C}) + P_{Y}^{D}(Y_{D} − Y_{C}) ≤ 0

Si las sumamos obtenemos

(P_{X}^{C} − P_{X}^{D})(X_{C} − X_{D}) + (P_{Y}^{C} − P_{Y}^{D})(Y_{C} − Y_{D}) ≤ 0

Supongamos que sólo varía el P_{x} y que P_{Y}^{C} = P_{Y}^{D}

(P_{X}^{C} − P_{X}^{D})(X_{C} − X_{D}) ≤ 0

Esta desigualdad dice precisamente que los precios y las cantidades demandadas varían en sentido contrario. Recordando que partimos del supuesto de que el individuo era indiferente entre C y D, ésta no otra cosa que una versión en términos de desigualdad de

\frac{∂X}{∂P_{X}} _{U constante} ≤ 0

Este resultado se alcanzó sin exigir la existencia de una función de utilidad ni el supuesto que la RMS es decreciente.

Una aplicación: En la construcción de índices de precios de Pasche por ejemplo (la canasta no está fija), para concluir que cuando hay un aumento general de precios y un cambio de precios relativos el individuo está peor necesariamente debemos partir de la teoría de preferencia revelada: si con los precios viejos la canasta que consume hoy no era elegida es porque no la prefería.

10.1.3 Generalización ( n bienes)

Si a los precios P_{i}^{0} se elige la cesta X_{i}^{0} y la cesta X_{i}^{1} es también asequible,

∑_{i} P_{i}^{0}X_{i}^{0} ≥ ∑_{i} P_{i}^{0}X_{i}^{1}

entonces se ha revelado que se puede consumir la cesta 1 pero se prefiere la cesta 0.

Por consiguiente, cuando se compra la cesta 1 a los precios P_{i}^{1} debe suceder que la cesta 0 no es asequible

∑_{i} P_{i}^{1}X_{i}^{0} > ∑_{i} P_{i}^{1}X_{i}^{1}

esta versión introductoria de la preferencia revelada centra la atención en dos canastas. En el caso de más de dos canastas requiere un grado de transitividad de las preferencias entre un número arbitrariamente grande de canastas.

Esto se resume en el

Axioma fuerte de la preferencia revelada: si se revela que se prefiere la canasta 0 a la 1, la 1 a la 2, ... y la K − 1 a la K, entonces no puede revelarse que se prefiere la K a la 0 (donde K es un número arbitrario de canastas de bienes).

Casi todas las demás propiedades que se han desarrollado utilizando el enfoque de una función de utilidad puede utilizarse con el enfoque de la preferencia revelada.