3.LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD

1 El caso de 2 bienes: análisis gráfico

Restricción:

P xX + P yY = I

Gráficamente: Saco la ecuación que describe la restricción presupuestaria en el eje (X, Y) :

Y = I/P y − P x/P y ∗ Y

−P x/P y : pendiente de la RP. Muestra tasa de cambio de un bien por otro en el mercado. Su costo de oportunidad.

Condiciones de primer orden: Si (X^{∗}, Y^{∗}) es la canasta ue maximiza utilidad sujeto a restricción presupuestaria, en (X^{∗}, Y^{∗}) se tiene que cumplir que la pendiente de la RP es igual a la RMS, ó

−P x/P y = −\frac{dY}{dX}_{U=U^{∗}} = RMS de Y por X

¿Por qué? Análisis gráfico:

FIGURA 4.2.

Condiciones de segundo orden para alcanzar un máximo: ¿Por qué −P x/P y = RMS no es una condición suficiente?

FIGURA 4.3

El punto de tangencia C es inferior en términos de utilidad al punto B que no es tangente. De hecho el máximo es el punto A.

El problema surge porque las CI en la Figura 4.3 no son convexas.

Si las CI son convexas no existe este problema. Ya vimos que CI convexas equivale a decir RMS es decreciente. Y esto equivale a decir U cuasi-cóncava. Bajo estos supuestos la condición de tangencia es necesaria y suficiente.

Soluciones de esquina:

FIGURA 4.4

Será necesario modificar nuestras condiciones de primer orden. Lo vemos para el caso de n bienes.

2 El caso de n bienes

El problema es:

max_{x_{1},x_{2},...,x_{n}} U(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})

sujeto a la restricción presupuestari

I = P_{1}x_{1} + P_{2}x_{2} + ... + P_{n}x_{n}

ó

I − P_{1}x_{1} + P_{2}x_{2} + ... + P_{n}x_{n} = 0

la restricción se escribe como una igualdad por el supuesto de insaciabilidad. Bajo este supuesto el individuo va a gastar todo su ingreso.

El Lagrangeano de este problema es:

L = U(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) + λ (I − P_{1}x_{1} + P_{2}x_{2} + ... + P_{n}x_{n})

Las condiciones de primer orden son:

\frac{∂L}{∂x_{1}} = \frac{∂U}{∂x_{1}} − λP_{1} = 0
\frac{∂L}{∂x_{2}} = \frac{∂U}{∂x_{2}} − λP_{2} = 0
·
·
·
\frac{∂L}{∂x_{n}} = \frac{∂U}{∂x_{n}} − λP_{n} = 0
\frac{∂L}{∂λ} = I − P_{1}x_{1} + P_{2}x_{2} + ... + P_{n}x_{n} = 0

Gneeralmente es posible resolver éstas n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas.

Suponiendo cuasiconcavidad estricata de la U estas condiciones son necesarias y suficientes.

Para cualquier x_{i}, x_{j} > 0, de las CPO sale que RMS tiene que ser igual al cociente de precios.

\frac{∂L}{∂x_{i}} = \frac{∂U}{∂x_{i}} − λP_{i} = 0 ⇒ \frac{∂U}{∂x_{i}} = λP_{i}
\frac{∂L}{∂x_{j}} = \frac{∂U}{∂x_{j}} − λP_{j} = 0 ⇒ \frac{∂U}{∂x_{j}} = λP_{j}

Dividiendo la primera entre la segunda

\frac{\frac{∂U}{∂x_{i}}}{\frac{∂U}{∂x_{j}}} = \frac{P_{i}}{P_{j}}

Sustituyendo el lado izquierdo por lo que ya sabemos:

RMS (de x_{j} por x_{i}) = \frac{P_{i}}{P_{j}}

Si la UM_{x_{i}} = 1 y la UM_{x_{j}} = 3, esto quiere decir que el individuo está dispuesto a dar solamente 1/3 de x_{j} por una unidad adicional de x_{i}, y esto tiene que ser igual al cociente de precios.

3 Interpretación del Multiplicador de Lagrange

Como cociente entre las UM y los precios de cada bien:

λ = \frac{∂U/∂x_{1}}{p_{1}} = \frac{∂U/∂x_{2}}{p_{2}} = ... = \frac{∂U/∂x_{n}}{p_{n}}
= \frac{UM_{1}}{p_{1}} = \frac{UM_{2}}{p_{2}} = ... = \frac{UM_{n}}{p_{n}}

La utilidad marginal por peso gastado es la misma.

Como utilidad marginal del ingreso: como la derivada del lagrangeano en el óptimo se interpreta como la utilidad marginal de un dólar adicional de gasto.

3.1 Soluciones de esquina

Condiciones de Kuhn - Tucker: ponerlas y decir que existen. Que las soluciones de esquina existen y les puedo preguntar.

4 Ejemplo: maximización de utilidad de una Cobb-Douglas

U(x, y) = x^{1/2}y^{1/2}

y y son hamburguesas

x bebidas

p_{y} = $1

p_{x} = $0, 25

I = $2

max_{(x,t)} U(x, y) = x^{1/2}y^{1/2}
sujeto a 0, 25x + y = 2 ó 2 − 0, 25x − y = 0

L = x^{1/2}y^{1/2} + λ (2 − 0, 25x − y)

CPO:

\frac{∂L}{∂x} = 1/2x^{−1/2}y^{1/2} − 0, 25λ = 0
\frac{∂L}{∂y} = 1/2x^{1/2}y^{−1/2} − λ = 0
\frac{∂L}{∂λ} = 2 − 0, 25x − y = 0

De la primera y la segunda:

1/2x^{−1/2}y^{1/2} = 0, 25λ
1/2x^{1/2}y^{−1/2} = λ

Dividiendo

\frac{x^{−1/2}y^{1/2}}{x^{1/2}y^{−1/2}} = 0, 25

\frac{y}{x}_{RMS} = 0, 25

Cociente de Precios

Se cumple, como sabemos, que en el óptimo la RMS es igual al cociente de precios, o:

x = 4y

Sustituyendo en la restricción presupuestaria:

2 = 0, 25 × 4y + y = 2y
y^{∗} = 1
x^{∗} = 4y^{∗} = 4
U^{∗} = \sqrt{4 × 1} = 2

Dados los precios y un ingreso de $2, este individuo maximiza su utilidad consumiendo la canasta (x^{∗}, y^{∗}) = (4, 1). Haciéndolo alcanza un nivel de utilidad (máximo) de 2.

Interpretación de λ :

λ^{∗} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^{∗}}{y^{∗}}} = \frac{1}{2} × \sqrt{\frac{4}{1}} = 1

Un peso adicional de ingreso genera una unidad adicional de utilidad. Ejemplo: si I pasa a ser $2, 1

5 Funciones de Demanda de una Cobb-Douglas

U(X, Y) = X^{α}Y^{β}

6 Función de utilidad Indirecta

En el caso de n bienes

6.1 En el ejemplo anterior

Si volvemos a los datos del problema anterior vemos que se puede calcular el valor máximo de la utilidad directamente (o indirectamente mejor dicho) con ellos.

El valor de V = 2 hallado es el mismo valor de U^{∗} = 2, el mismo valor que habíamos hallado.

7 Dual del problema de maximización de utilidad

Planteamiento gráfico

7.1 Formulación Matemática

Min E sujeto a U = U^{0} Obtenemos las funciones de demanda compensada

X_{1}^{∗}(P_{1}, ..., P_{n}, U)

Y con ellas la función de gasto E(P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, U).

7.2 Ejemplo

Obtenemos la función de gasto para la función de utilidad del problema anterior: U = X^{1/2}Y^{1/2}.

Notar:

1) Cuando sustituimos por los datos del problema anterio E = 2 que es el valor de I

2) La función de gastos que obtuvimos es la inversa de la función de utilidad indirecta.

8 Ejercicios de deberes

4.1, 4.4, 4.5, 4.10

References

[1] Nicholson, Walter, ”Teoría Microeconómica”, Thomson.