02 - PREFERENCIAS Y UTILIDAD

1 Axiomas de la Elección ”Racional”

¿Que características debe cumplir la conducta ”racional”?

Si el individuo es racional y se enfrenta a una situación en la cual debe elegir, la relación de preferencia ”A es preferible a B” debe cumplir con tres propiedades:

1. Completitud: Si A y B son dos situaciones, el individuo a. Prefiere A a B, o b. Prefiere B a A, o c. Es indiferente entre A y B

2. Transitividad: Si una persona declara que ”prefiere A a B” y que ”prefiere B a C”, también debe declara que ”prefiere A a C”.

3. Continuidad: Si una persona declara que ”prefiere A a B” también debe preferir debidamente las situaciones parecidas a A y B. Este supuesto de continuidad es necesario para analizar las respuestas de los individuos antes cambios pequeños en las situaciones. Al hacerlo no dejamos de lado conductas importantes en el mundo real, parece.

2 La Utilidad

Dadas estas propiedades, es posible demostrar formalmente que los individuos van a ser capaces de ordenar todas las situaciones posibles de la menos a la más deseable. Siguiendo a J. Bentham (1848) diremos que las situaciones más deseables reportan más utilidad (U). Si un individuo prefiere A a B, entonces U(A) > U(B).

2.1 Inexistencia de un Único Método para Medir la Utilidad

Es posible asignar un número a las ordenaciones de preferencias (utilidades) de cada situación. Pero estos números no son únicos. Cualquier escala de número que refleje las mismas ordenaciones explicará las mismas elecciones. Es decir, da lo mismo decir que U(A) = 5 y U(B) = 4 que decir que U(A) = 1.500 y U(B) = 0, 5. En ambos casos quiere decir que A es preferible a B y eso es todo lo que le pedimos a una ordenación de preferencias.

En términos más formales, cualquier ordenación numérica de la utilidad U puede transformarse en otro conjunto de números por medio de la función F (U) siempre que F (U) preserve el orden de U, lo cual puede conseguirse si F′(U) > 0 para todo U. F es una transformación monotónica de U. Ejemplos: F (U) = U^{2} (U > 0). F (U) = ln U.

Entonces no tiene sentido preguntarse cuánto más prefiere el individuo A a B porque la pregunta puede tener más de una respuesta. Ello es porque podríamos representar su ordenaciíon de preferencias con más de una función (escala), como en el ejemplo de arribaLas ordenaciones de preferencias son ordinales. Tan solo podremos decir que prefiere A a B.

Tampoco podemos comparar las utilidades de dos personas diferentes. Si el individuo 1 dice que U_{1}(A) = 5 y el individuo 2 dice que U_{2}(A) = 100 no podemos decir cuál de los dos valora más A porque podrían estar utilizando escalas muy diferentes.

Tampoco podemos decir que el traspaso de una situación A a una B reporta más utilidad a una persona que a otra.

Función de utilidad: suponemos que el mundo está compuesto por dos bienes, X e Y (o que el consumo del resto de los bienes permanece constante) y llamamos U(X, Y) a esta función de utilidad. Esta representará las preferencias en torno a las cantidades de los bienes X e Y en una canasta compuesta por estos dos bienes.

Supuesto de Insaciabilidad: Los individuos siempre prefieren una cantidad mayor de cada bien a una menor.

Grafico para el caso de dos bienes: Figura 3.1.

2.2 Curvas de Indiferencia

O superficies...

Un curva de indiferencia muestra un conjunto de canastas de consumos que le reportan al individuo el mismo nivel de utilidad. El individuo es indiferente entre todas las canastas en una una curva de indiferencia.

Figura 3.2

Pendiente negativa de la curva de indiferencia: ...Pendiente creciente: de −∞ a 0. Significa que la tasa a la que está dispuesta a cambiar Y por X decrece a medida que aumenta el consumo de X. Esta tasa se llama

Relación Marginal de Sustitución: pendiente de la curva de indiferencia en un punto

RMS = −\frac{dY}{dX}_{U=U1}

Vemos entonces que la RMS es decreciente.

Mapas de Curvas de Indiferencia

Curvas de indiferencia y transitividad: las curvas de indiferencia no se pueden cruzar.

2.2.1 Convexidad de las curvas de indiferencia

El principio de la RMS decreciente equivale a decir que las CI son (estrictamente) convexas. No tienen partes rectas, si quiera.

2.3 La RMS como cociente de las Utilidades marginales

2.3.1 Definición de utilidad marginal

U = (x_{1}, x_{2}, .., x_{n})

El valor de la utilidad marginal depende del punto en que se evalúa esta derivada parcial y de la escala que se utilice para medir la utilidad.

2.3.2 Diferencial Total de U

2.3.3 Obtención de la RMS

¿Que pasa sólo varían dos bienes, x e y de tal manera que la utilidad del individuo no cambia?

No depende de la escala de U. Sea F (U) una transformación monotónica de U : F′(U) > 0 2.3.4 Ejemplo. la UM y la RMS

U(X, Y) = \sqrt{XY}
UM_{x} = 1/2X^{−1/2}Y^{1/2}
UM_{Y} = 1/2X^{1/2}Y^{−1/2}

RMS = \frac{UM_{X}}{UM_{Y}} = \frac{1/2X^{−1/2}Y^{1/2}}{1/2X^{1/2}Y^{−1/2}} = \frac{Y}{X}

Una transformación monótona de esta U no afecta la RMS.

F (U) = ln(U)

UM_{x} = F′(U)\frac{∂U}{∂X} = \frac{1}{U} \frac{1}{2} \begin{matrix}√ & \overline{Y} \\ √ & \overline{X} \end{matrix} = \frac{1}{\sqrt{X}\sqrt{Y}} \frac{1}{2} \begin{matrix}√ & \overline{Y} \\ √ & \overline{X} \end{matrix} = \frac{1}{2X}

UM_{Y} = \frac{1}{2Y}

RMS = \frac{UM_{X}}{UM_{Y}} = \frac{Y}{X}

2.3.5 La UM decreciente y la RMS

Por más que intuitivamente pueda parecerlo, la UM decreciente no implica RMS decreciente.

Demostración:

Si suponemos que f_{2} > 0 (UM positiva)

\frac{dRMS}{dX} < 0 ⇔ \frac{f_{11}f_{2} − 2f_{12}f_{1} + f_{22} \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}}}{f_{2}^{2}} < 0 ⇔ f_{11}f_{2} − 2f_{12}f_{1} + f_{22} \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}} < 0

Asumiendo utilidades marginales decrecientes el primer y tercer término son negativos. Pero no podemos decir nada del signo del término del medio porque no podemos decir nada del signo de f_{12} a priori. La RMS puede ser decreciente con f_{12} positiva o con f_{12} negativa. Tambien podría ser creciente aunque f_{11}y f_{22}sean negativas (UM decrecientes).

3 Ejemplos de Funciones de Utilidad

3.1 La Utilidad Cobb-Douglas

U(x, Y) = X^{α}Y^{β}

, α, β > 0.

GRÁFICO CI

3.2 Bienes sustitutos perfectos

U(X, Y) = αX + βY

, α, β > 0 CI rectas RMS constante

3.3 Bienes Complementarios Perfectos

U(X, Y) = min(αX, βY)

3.4 Utilidad con ESC

Los tres casos anteriores son casos particulares de al U con ESC:

U(X, Y) = \frac{X^{δ}}{δ} + \frac{Y^{δ}}{δ}

cuando δ ≠ 0, y

U(X, Y) = ln X + ln Y

cuando δ = 0. Cuando δ = 1 sustitutos perfectos. Cuando δ = 0 Cobb-Douglas.^{1}

1En ambos casos hemso supuesto implícitamente que α = β = 1. La función ESC se puede generalizar para otros valores de α y β

4 Preferencias Homotéticas

Todas las funciones de utilidad anteriores son homotéticas: la RMS depende del cociente entre X e Y y no de la cantidad X + Y. En otras palabras, las preferencias son homotéticas cuando la RMS es constante a lo largo de cualquier rayo ue sale del origen.

RMS sustitutos perfectos

RMS complemetarios perfectos

RMS Cobb-Douglas

Práctico Capítulo 3: 3.1, 3.2, 3.3, 3.10

5 Ampliaciones

5.1 Preferencias especiales

Las funciones de utilidad vistas son lo suficiente generales como para ser fácilmente modificadas para incluir casos especiales de preferencias.

5.1.1 Calidad

Suponga un bien q (metros cuadrados de hogar) con dos atributos: luz solar (a_{q}^{1}) y (a_{q}^{2}). En este caso la utilidad puede escribirse como:

U = U [q, a_{q}^{1}, a_{q}^{2}]

y las mejoras en utilidad pueden surgir porque el individuo consume mayor cantidad del bien o porque sin variar la cantidad consme bienes con mayor calidad/cantidad de un atributo.

5.1.2 Hábitos y adicciones

Adicciones:

U = U_{t} (X_{t}, Y_{t}, S_{t})

con

S_{t} = ∑_{i=1}^{∞} X_{t−i}

O

U = U_{t} (X_{t}^{∗}, Y_{t})

donde X_{t}^{∗} es un función simple de X_{t} y X_{t−1}, como X_{t}^{∗} = X_{t} - X_{t−1}, o X_{t}^{∗} = X_{t}/X_{t−1}. Éstas formas implican que cuanto mayor X_{t−1}, más será la cantidad de X_{t} que tendrá que consumir el individuo para estar mejor. (Lo veremos en el siguiente capítulo, Stigle y Becker, 1977).

5.1.3 Preferencias sobre terceros

U = U_{i} (X_{i}, Y_{i}, U_{j})

Si ∂U_{i}/∂U_{j} > 0, altruista, si < 0 envidia. Caso habitual en la microeconomía clásica: ∂U_{i}/∂U_{j} = 0

References

[1] Nicholson, Capítulo 3.