1 Función de Costos de Abatimiento

1.1 Supuestos Básicos

Una firma compra un vector de insumos x, y toma el vector de precios de esos insumos w como dado. La firma produce dos productos; un bien q que vende y emisiones de un contaminante e. La producción de q obedece a una función de producción f(x) que es cóncava, monótonamente creciente, y continuamente diferenciable dos veces. Las emisiones del contaminante se producen como un producto-colateral en la producción de q de acuerdo a la función h(x), la cual es convexa y continuamente diferenciable dos veces. Aunque no es necesario, podemos asumir que si h_{k}(x) = δh/δx_{k} > 0 , entonces el insumo k es un insumo neto en la producción de q, y si h_{k}(x) = δh/δx_{k} < 0 , entonces el insumo k es un insumo neto en el control de la contaminación.

Consideremos el siguiente problema: la firma quiere minimizar los costos de producir un nivel dado de producto \overline{q} mientras cumple con un estándar de emisión \overline{e}. Esto es,

min_{x} wx  (1a)

sujeto a

\overline{q} = f(x)  (1b)
\overline{e} = h(x)
\overline{e} ∈ (o, e^{π})

e^{π} es el nivel de emisiones que la firma produciría en ausencia de regulaciones. Esto es, e^{π} = h(x^{π}) = arg max [pf(x) − wx] . La solución al problem (1) es el vector de demandas de insumos condicionales x(w,\overline{q}, \overline{e}). la función de costos (mínimos) de la firma es entonces

c(w, \overline{q}, \overline{e}) = wx(w,\overline{q}, \overline{e})

1.2 La estructura de c(w, \overline{q}, \overline{e})

La estructura de c(w, \overline{q}, \overline{e}) con respecto a precios de los factores y el producto es conocida. Estableceremos ahora dos resultados acerca de los efectos de un cambio en el estándar de emisiones sobre los costos (mínimos) de la firma.

Lema 1: c(w, \overline{q}, \overline{e}) es no-decreciente en el estándar de emisiones \overline{e}.

Demostración:

Lema : c(w, \overline{q}, \overline{e}) es conjuntamente convexa en (\overline{q}, \overline{e})

Demostración:

Para simplificar la notación de aquí en adelante suprimiremos las ”barras” sobre q y e. Pero por ello no debemos olvidarnos de que q y e son niveles objetivos de producción y contaminación. Además, para simplificar el análisis que sigue haremos las siguientes supuestos:

1. c(w, q, e) es continuamente diferenciable dos veces en todos sus argumentos.

2. c(w, q, e) es estrictamente creciente en q y estrictamente decreciente en e.

3. c(w, q, e) es estrictamente convexa en (q, e)

Frecuentemente en economía ambiental se hace el análisis en términos de abatimiento (reducción de emisiones) en lugar de emisiones e. Definimos abatimiento como a = e^{π} − e. La función de costos en términos de abatimiento es c(w, q, e^{π} − e). Diferenciando con respecto a a obtenemos −c_{e}(w, q, e^{π} − e) > 0. Nos podemos referir a esta función como la función de costos de abatimiento marginal condicional a q (q = \overline{q}).

1.3 La Función de Costos de Abatimiento empresas en mercados competitivos

Supongamos que la firma ofrece su producto en un mercado perfectamente competitivo. La firma ofrecerá el nivel de q que maximice pq − c(w, q, e), la cual es estrictamente cóncava en q. restringiendo nuestra atención a soluciones interiores, la condición de primer orden p − c_{q}(w, q, e) = 0 es necesaria y suficiente para identificar la función de oferta q(w, p, e) de la firma. El efecto de un cambio en las emisiones objetivo e en la cantidad ofrecida depende del signo de la derivada cruzada c_{qe}. Si c_{qe} < 0 (un aumento en el nivel de emisiones objetivo (o el estándar) hace decrecer los costos marginales de producción), lo que podemos llamar complementariedad en los costos, entonces q_{e}(w, p, e) = −c_{qe}/c_{qq} > 0, mayores niveles de emisiones objetivo (o estándar de emisiones más laxos) hacen aumentar le nivel de emisiones. Si c_{qe} > 0 sucede lo contrario.

Ahora, usando la función de oferta obtenemos la función de beneficios (máximos):

π(w, p, e) = pq(w, p, e) − c(w, q(w, p, e), e)

Lema 3: π(w, p, e) es estrictamente creciente y estrictamente cóncava en el nivel de emisiones objetivo.

Demostración:

Claramente, los costos totales de alcanzar e < e^{π} para la firma es la disminución en los beneficios con respecto a la situación sin regulación. Esto es,

c(w, p, e) = π(w, p, e^{π}) − π(w, p, e)

Esta es la función de costos de abatimiento de una firma perfectamente competitiva.

Lema 4: La función de costos de abatimiento de una firma competitiva c(w, p, e) es estrictamente decreciente y estrictamente convexa en el nivel de emisiones e.

Demostración:.....

1.4 La Función de Costos de Abatimiento empresas en mercvados no perfectamente competitivos

Suponga que n firmas idénticas son competidoras Cournot. sea p(q_{i} + q_{−i}) la función inversa de demanda, con q_{i} siendo la cantidad producida y vendida por la firma i y q_{−i} = ∑_{i≠j} q_{j} siendo la de sus competidores. Suponga que los insumos son comprados en mercados competitivos y que el estándar de emisiones e aplica a todas las firmas. Entonces, la función de costos de la i-ésima firma es c(w, q_{i}, e). Asumiendo un comportamiento Nash, i elije su nivel de producción tal que maximiza los beneficios p(q_{i} +q_{−i})q_{i} −c(w, q_{i}, e). La condición de primer orden para una solución interior es

p′(q_{i} + q_{−i})q_{i} + p(q_{i} + q_{−i}) − c_{q}(w, q_{i}, e) = 0

En un equilibrio simétrico tenemos que

p′(nq)q + p(nq) − c_{q}(w, q, e) = 0  (2)

donde q es el nivel de producción de todas las firmas.

La ecuación 2 define implícitamente el nivel de producción para cada firma en el equilibrio de Cournot, q(w, n, e), si se cumple la siguiente condición de segundo orden

S = 2p′(nq)q + p′′(nq) − c_{qq}(w, q, e) < 0  (3)

De 2 y 3 sale que

q_{e}(w, n, e) = c_{qe}/S

que indica que el signo [q_{e}(w, n, e)] = signo [−c_{qe}] . Por consiguiente, si existe complementariedad en los costos entre las emisiones y la producción (c_{qe} < 0), entonces un incremento (disminución) en el nivel de emisiones e (un estándar más (menos) laxo) provocará un incremento (disminución) en la producción de equilibrio de las firmas en un equilibrio simétrico de Cournot. Lo contrario sucederá si existe sustituibilidad en los costos entre q y e (c_{qe} > 0). este es el mismo resultado que obtuvimos para el caso de las firmas ue actuaban en mercados perfectamente competitivos.

La función de beneficios de las firmas es

π(w, n, e) = p(nq(w, n, e))q(w, n, e) − c(w, q(w, n, e), e)

y su función de costos de abatimiento es

c(w, n, e) = π(w, n, e^{π}) − π(w, n, e)  (4)

Diferenciando 4 con respecto a e y usando la condición de primer orden 2 obtenemos

c_{e}(w, n, e) = −π_{e}(w, n, e) = − [p′nq_{e}q + pq_{e} − c_{q}q_{e} − c_{e}] = −p′q_{e}q(n − 1) + c_{e} (5) y diferenciando5con respecto a e

c_{ee}(w, n, e) = −π_{e}(w, n, e) = − [(p′′nq_{e}q + p′q_{e})q_{e} + q_{e}p′q] (n − 1) + c_{ee} (6)

Lema 5: La función de costos de abatimiento de un monopolista (n = 1) es estrictamente decreciente y estrictamente convexa en el estándar de emisión.

Demostración:.....

Sin embargo, para firmas idénticas de Cournot (n > 1) no podemos decir mucho acerca de la estructura de sus costos de abatimiento.......

References

[1] Stranlund, John (1999), Fundamental Economics of Environmental Policy Design, mimeo.